Lenz sans calcul, et pourquoi le signe moins

L'outil. La loi de Lenz : les effets de l'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. On l'applique sous deux formes : le courant induit crée un champ qui s'oppose à la variation du flux ; les forces qui en résultent s'opposent au mouvement qui la produit. Pour passer d'un champ à un sens de courant : la main droite, et la règle des faces — une face est nord si le champ de la spire en sort, c'est-à-dire si, en la regardant, on voit le courant tourner dans le sens trigonométrique.

1) Le pôle sud qui approche. Les lignes de champ entrent dans l'aimant par son pôle sud : devant lui, le champ est dirigé vers l'aimant, et son flux à travers la spire augmente quand l'aimant approche. Le courant induit crée un champ opposé, qui s'éloigne de l'aimant : il entre dans la spire par la face tournée vers l'aimant, qui est donc une face sud. Vue depuis l'aimant, une face sud est parcourue dans le sens horaire. Deux pôles sud en regard se repoussent : la spire repousse l'aimant. La force s'oppose au rapprochement, comme le veut Lenz.

2) À la fermeture. Le courant $i_1$ de la première spire passe de zéro à sa valeur finale : le flux qu'elle envoie à travers la seconde augmente. Le courant induit $i_2$ crée un champ opposé, donc il circule en sens inverse de $i_1$. Or deux courants coaxiaux de sens opposés se repoussent (deux faces de même nom en regard). La seconde spire est repoussée — c'est l'expérience classique de l'anneau de Thomson : un anneau d'aluminium enfilé sur une bobine à noyau de fer saute en l'air quand on établit le courant.

3) À l'ouverture. Le courant $i_1$ décroît vers zéro : le flux à travers la seconde spire diminue. Le courant induit s'oppose à cette diminution : il crée un champ de même sens que celui de la première, donc circule dans le même sens que $i_1$. Deux courants de même sens s'attirent : la seconde spire est attirée, comme pour retenir le flux qui s'en va.

4) L'anneau qui oscille. Chaque fois que l'anneau entre dans la région de champ ou en sort, le flux qui le traverse varie : un courant induit y circule, et la force de Laplace qu'il subit s'oppose au mouvement — à l'entrée comme à la sortie. L'oscillation est amortie ; l'énergie mécanique est convertie en énergie électrique, dissipée par effet Joule dans le cuivre. Si l'on fend l'anneau, aucun courant ne circule et l'amortissement disparaît : le freinage est bien dû aux courants induits.

5) a) Le monde réel. Le flux à travers le circuit est son flux propre, $\Phi =Li$. La f.é.m. d'auto-induction vaut $e=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ et la loi des mailles donne $e=Ri$ : $$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=0,i(t)=i_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau },\tau =\frac{L}{R}.$$ Multiplions par $i$ : $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)=-R{i}^2\le 0.$$ L'énergie magnétique stockée diminue, et chaque joule perdu par la bobine est un joule dissipé par effet Joule. Le bilan est équilibré : l'énergie initiale $\frac{1}{2}L{i}_0^2$ finit entièrement en chaleur.

5) b) Le monde imaginaire. Avec $e=+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, la maille donne $L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=Ri$, d'où $$i(t)=i_0{\mathrm{e}}^{+t/\tau },\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)=+R{i}^2\ge 0.$$ Le courant croît exponentiellement, et le bilan dit que l'énergie magnétique augmente en même temps que de la chaleur est produite : les deux termes sont positifs, sans aucune source. Ce monde crée de l'énergie à partir de rien ; il viole la conservation de l'énergie. Le signe moins de la loi de Faraday n'est pas une convention : il est imposé par la conservation de l'énergie, et la loi de Lenz n'en est que la traduction qualitative.

5) c) L'aimant dans le monde imaginaire. Le courant induit circulerait en sens inverse de celui du 1) : la spire présenterait une face nord à l'aimant et l'attirerait. L'aimant, à peine poussé, serait accéléré, d'où un courant plus grand et une attraction plus forte : un emballement qui produirait énergie cinétique et chaleur sans travail fourni. Dans le monde réel, il faut pousser l'aimant : ce travail paie l'énergie dissipée dans la spire — et c'est pourquoi une dynamo de vélo « freine » quand la lampe est allumée.

Ce que l'exercice installe. Prévoir sans calcul le sens d'un courant induit et le sens de la force, par l'opposition à la cause, et s'en servir comme contrôle de tout calcul algébrique. Et comprendre que la loi de Lenz est la conservation de l'énergie appliquée à l'induction : toute conversion électromécanique (alternateur, frein, moteur) repose sur ce signe.