Orienter avant de calculer

La stratégie. On suit l'ordre qui ne trompe jamais : orienter (choisir le sens positif), en déduire la normale (main droite), calculer le flux, dériver (Faraday), écrire la loi des mailles sur le schéma équivalent. Le sens réel du courant se lit seulement à la fin, sur le signe de $i$.

Justifier l'hypothèse. L'inductance propre d'une spire de $10\mathrm{cm}$ est de l'ordre de ${\mu }_{0}a\approx 10^{-7}\mathrm{H}$ ; la constante de temps $L/R\approx 1\mu \mathrm{s}$ est cent mille fois plus courte que $\tau$ : le courant suit instantanément la f.é.m.

1) Première orientation. Avec $\overrightarrow{n}=+{\overrightarrow{u}}_z$, le champ uniforme est parallèle à la normale, et la surface plane de la spire vaut $S=a^2=1,0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ : $$\Phi (t)=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}S=B(t)a^2=\frac{B_0{a}^2}{\tau }t.$$ La loi de Faraday donne $$e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-\frac{B_0{a}^2}{\tau }=-\frac{0,50\times 1,0\times 10^{-2}}{0,10}=-5,0\times 10^{-2}\mathrm{V}.$$ Le schéma équivalent est une seule maille : un générateur de f.é.m. $e$ orienté dans le sens positif, en série avec $R$. La loi des mailles s'écrit $e=Ri$, d'où $$i=\frac{e}{R}=\frac{-5,0\times 10^{-2}}{0,10}=-0,50\mathrm{A}.$$ Le signe moins se lit ainsi : le courant circule à contresens du sens positif choisi, c'est-à-dire dans le sens horaire vu d'en haut, avec une intensité de $0,50$ A.

2) Orientation opposée. On choisit maintenant le sens horaire vu d'en haut ; la main droite donne ${\overrightarrow{n}}^{\prime }=-{\overrightarrow{u}}_z$. Alors $${\Phi }^{\prime }=-B(t)a^2,e^{\prime }=+\frac{B_0{a}^2}{\tau }=+5,0\times 10^{-2}\mathrm{V},i^{\prime }=+0,50\mathrm{A}.$$ Le courant est positif, donc il circule dans le nouveau sens positif : sens horaire vu d'en haut, $0,50$ A. C'est exactement le courant physique trouvé au 1).

Ce qui a changé : les signes de $\Phi$, de $e$ et de $i$ — ce sont des grandeurs algébriques, définies relativement à une orientation. Ce qui n'a pas changé : tout ce qui est physique et observable — le sens réel du courant, sa valeur $0,50$ A, la valeur absolue de la f.é.m., la puissance dissipée $R{i}^2=0,10\times 0,25=2,5\times 10^{-2}\mathrm{W}$. Changer d'orientation change deux signes à la fois (celui du flux, donc celui de $e$, et celui du sens de lecture de $i$) : les deux changements se compensent.

3) Contrôle par Lenz. Le flux du champ extérieur à travers la spire, compté vers le haut, augmente. Le courant induit doit s'opposer à cette augmentation : il crée, à l'intérieur de la spire, un champ dirigé vers le bas. Par la règle de la main droite, un courant qui crée un champ vers le bas au centre de la spire circule dans le sens horaire vu d'en haut. C'est bien le sens trouvé. Lenz ne remplace pas le calcul : il le contrôle, en une ligne et sans aucune convention.

4) Le trapèze. Avec l'orientation du 1), $\Phi =B{a}^2$ et $e=-a^2\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$ :

• pendant la montée ($0<t<\tau$), la pente de $B$ vaut $B_0/\tau$ : $e=-5,0\times 10^{-2}\mathrm{V}$ ;
• pendant le palier ($\tau <t<2\tau$), $B$ est constant : $e=0$ ;
• pendant la descente ($2\tau <t<2,5\tau$), la pente vaut $-B_0/(\tau /2)=-2B_0/\tau$ : $e=+\frac{2B_0{a}^2}{\tau }=+0,10\mathrm{V}$.

Le graphe de $e(t)$ est une suite de trois paliers : $-50\mathrm{mV}$ pendant $0,1$ s, zéro pendant $0,1$ s, $+100\mathrm{mV}$ pendant $0,05$ s. La f.é.m. lit la pente du flux, pas sa valeur : un flux constant, si intense soit-il, n'induit rien.

La charge. Puisque $i=e/R=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$, la charge qui traverse une section du fil entre deux instants vaut $$q=\int i\mathrm{d}t=-\frac{\Delta \Phi }{R}.$$ Pendant la montée, $\Delta \Phi =B_0{a}^2=5,0\times 10^{-3}\mathrm{Wb}$ et $q=-5,0\times 10^{-2}\mathrm{C}$. Sur tout le trapèze, le flux revient à sa valeur initiale : $\Delta \Phi =0$, donc la charge totale est nulle : ce qui est passé pendant la montée repasse en sens inverse pendant la descente. Et $q$ ne dépend que de la variation du flux, pas de sa rapidité : c'est le principe des fluxmètres balistiques.

5) Une bobine plate de $N$ spires. Le circuit traverse $N$ fois la même surface dans le même sens : le flux total est $N$ fois celui d'une spire, ${\Phi }_N=NB{a}^2$, et la f.é.m. est multipliée par $N$. Mais le fil est $N$ fois plus long, donc la résistance aussi : $R_N=NR$. Le courant $i_N=\frac{Ne}{NR}=i$ est inchangé. On gagne la tension disponible en circuit ouvert, pas le courant. Et l'inductance propre croît comme $N^2$ (exercice 4) : l'hypothèse « inductance négligée » finit par tomber.

Ce que l'exercice installe. L'ordre orienter, normale, flux, dérivée, maille, et la distinction entre le signe d'une grandeur algébrique (affaire de convention) et le sens réel d'un courant (affaire de physique). Une f.é.m. induite est une pente de flux ; la charge induite est une variation de flux. On retrouvera cet ordre dans chaque exercice d'induction, et en particulier sur les rails et le cadre tournant de la conversion électromécanique.