La plaque épaisse : un pseudo-vecteur, un champ uniforme hors des sources

La stratégie. Les symétries donnent la direction et la variable ; la symétrie par rapport au plan médian donne la parité, donc la valeur au centre, sans aucune hypothèse à l'infini ; un rectangle symétrique fait le reste. Les deux plaques s'obtiennent par superposition.

1) Direction et variable. Le plan passant par $M$ et perpendiculaire à ${\overrightarrow{u}}_y$ contient les courants (dirigés selon ${\overrightarrow{u}}_z$) et laisse la plaque invariante : c'est un plan de symétrie, $\overrightarrow{B}(M)$ lui est perpendiculaire, donc porté par ${\overrightarrow{u}}_y$. Le plan passant par $M$ et perpendiculaire à ${\overrightarrow{u}}_z$ est un plan d'antisymétrie (il renverse les courants) : $\overrightarrow{B}$ y est contenu, ce qui confirme $B_z=0$. La plaque est invariante par translation selon $y$ et selon $z$ : $\overrightarrow{B}=B(x){\overrightarrow{u}}_y$.

2) Le pseudo-vecteur. Pour deux points $M$ et $M^{\prime }$ symétriques par rapport à un plan de symétrie $\Pi$ des courants, le pseudo-vecteur obéit à la règle : la composante normale à $\Pi$ se conserve, les composantes parallèles à $\Pi$ changent de signe (c'est l'inverse d'un vrai vecteur comme $\overrightarrow{E}$ ; sur $\Pi$ même, elle redonne la règle du cours, $\overrightarrow{B}\perp \Pi$). Ici $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{u}}_y$ est parallèle au plan $x=0$ : $$B(-x)=-B(x),B(0)=0.$$ Le champ est impair, et nul dans le plan médian.

3) Le contour rectangulaire. Orientons $\mathcal{C}$ dans le sens trigonométrique vu depuis les $z$ positifs ; la surface qu'il borde est orientée par $+{\overrightarrow{u}}_z$, comme $\overrightarrow{j}$. Les côtés parallèles à ${\overrightarrow{u}}_x$ sont perpendiculaires au champ ; le côté d'abscisse $x$ est parcouru selon $+{\overrightarrow{u}}_y$ et donne $B(x)L$ ; le côté d'abscisse $-x$ est parcouru selon $-{\overrightarrow{u}}_y$ et donne $-B(-x)L=+B(x)L$. Donc $2B(x)L={\mu }_0{I}_{\text{enl}}$.

• Dans la plaque, $0<x<e/2$ : $I_{\text{enl}}=j\times 2xL$, d'où $B(x)={\mu }_{0}jx$.
• Hors de la plaque, $x>e/2$ : $I_{\text{enl}}=jeL$, d'où $B={\mu }_{0}je/2$, et $-{\mu }_{0}je/2$ pour $x<-e/2$. $$\overrightarrow{B}={\mu }_{0}jx{\overrightarrow{u}}_y(|x|<e/2),\overrightarrow{B}=\pm \frac{{\mu }_{0}je}{2}{\overrightarrow{u}}_y(|x|>e/2).$$ Le signe obéit à la main droite : à droite d'un courant dirigé selon $+{\overrightarrow{u}}_z$, le champ est selon $+{\overrightarrow{u}}_y$. Le champ est continu en $x=\pm e/2$, comme toujours pour un courant volumique.

Ce qui surprend : à l'extérieur, le champ est uniforme ; il ne décroît pas quand on s'éloigne. C'est le rôle de l'infini : une plaque infinie n'a aucune longueur caractéristique dans son plan, elle « se ressemble » à toute distance. Une vraie plaque de largeur $w$ suit ce modèle à des distances petites devant $w$, loin des bords ; à des distances grandes devant $w$, elle redevient un fil, de champ ${\mu }_{0}I/2\pi r$.

4) Seul compte $je$. Hors de la plaque, $B={\mu }_0(je)/2$ : le champ ignore comment le courant est réparti dans l'épaisseur. Le produit $je$ (en $\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$) est l'intensité par unité de largeur : une bande de plaque de largeur ${\ell }_y$ porte $I=je{\ell }_y$. Une plaque deux fois plus mince et deux fois plus dense donne le même champ extérieur ; seul le champ intérieur change, puisqu'il passe de $-{\mu }_{0}je/2$ à $+{\mu }_{0}je/2$ sur l'épaisseur $e$, avec la pente ${\mu }_{0}j$.

5) Deux plaques : un solénoïde déroulé. Notons $P_1$ (densité $+j$) la plaque de gauche et $P_2$ (densité $-j$) celle de droite. Par superposition : entre les plaques, on est à droite de $P_1$, qui donne $+{\mu }_{0}je/2$, et à gauche de $P_2$, qui donne, son courant étant opposé, $-(-{\mu }_{0}je/2)=+{\mu }_{0}je/2$ ; à l'extérieur, les deux contributions sont opposées. $$\overrightarrow{B}={\mu }_{0}je{\overrightarrow{u}}_y\text{ entre les plaques},\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}\text{ aˋ l’exteˊrieur},$$ et, dans chaque plaque, le champ varie linéairement de $0$ à ${\mu }_{0}je$. C'est le solénoïde déroulé : les deux faces en regard d'un enroulement, vues de près, portent des courants opposés ; le champ intérieur vaut ${\mu }_0\times$(intensité par unité de longueur), comme ${\mu }_{0}nI$, et le champ extérieur est nul.

6) Les barres d'alimentation. La densité vaut $j=\frac{1000}{0,1\times 0,01}=1,0\times 10^6\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}=1\mathrm{A}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-2}$. Près d'une grande face d'une barre seule : $$B=\frac{{\mu }_{0}je}{2}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10^6\times 10^{-2}}{2}=6,3\mathrm{mT},$$ valable à quelques millimètres de la face et loin des bords (largeur $w=10\mathrm{cm}$). Entre les deux barres : $B_0={\mu }_{0}je={\mu }_{0}I/w=12,6\mathrm{mT}$, et presque rien à l'extérieur. Inductance linéique. Sur une longueur $1\mathrm{m}$ : dans l'intervalle, l'énergie vaut $\frac{B_0^2}{2{\mu }_0}wg$ ; dans chaque barre, le champ croît linéairement de $0$ à $B_0$, et ${\int }_0^e(\frac{B_{0}s}{e}{)}^2\mathrm{d}s=\frac{B_0^{2}e}{3}$, d'où $\frac{B_0^2}{2{\mu }_0}\frac{we}{3}$ par barre. Avec $B_0={\mu }_{0}I/w$ : $$W^{\prime }=\frac{B_0^2}{2{\mu }_0}w(g+\frac{2e}{3})=\frac{1}{2}\frac{{\mu }_0}{w}(g+\frac{2e}{3})I^2=\frac{1}{2}{L}^{\prime }{I}^2,L^{\prime }=\frac{{\mu }_0(g+2e/3)}{w}=109\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ Pourquoi apparier. Le champ est confiné entre les barres : il ne perturbe ni les appareils voisins ni les structures métalliques proches ; et l'inductance est faible (elle croît avec l'écart $g$), donc la chute de tension en courant alternatif aussi. Écarter les barres de quelques centimètres ferait perdre ces deux avantages.

Ce que l'exercice installe. La règle du pseudo-vecteur aux points symétriques (composante normale conservée, composantes parallèles renversées), qui fixe la parité du champ et sa valeur dans un plan de symétrie, sans hypothèse à l'infini. Le contour rectangulaire symétrique pour une distribution plane. Un champ uniforme hors des sources quand la distribution est infinie, et l'idée que seule compte l'intensité par unité de largeur. Deux plaques opposées : le champ confiné du solénoïde.