Le câble coaxial : un champ confiné, une inductance linéique

La stratégie. Le champ est connu ; on compte l'énergie magnétique dans des couronnes de rayon $r$ et d'épaisseur $\mathrm{d}r$, de volume $2\pi r\mathrm{d}r$ par unité de longueur, et on l'identifie à $\frac{1}{2}{L}^{\prime }{I}^2$. La méthode énergétique s'applique partout, même là où le flux est difficile à définir.

1) Entre les conducteurs. Avec $u_m=B^2/2{\mu }_0$ : $$W_{\text{ext}}^{\prime }={\int }_a^b\frac{1}{2{\mu }_0}(\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{)}^{2}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi }\ln \frac{b}{a}=\frac{1}{2}{L}_{\text{ext}}^{\prime }{I}^2,L_{\text{ext}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{b}{a}.$$ Par le flux : le rectangle méridien est traversé normalement par le champ orthoradial, et $\Phi ={\int }_a^b\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\ell \mathrm{d}r=\frac{{\mu }_{0}I\ell }{2\pi }\ln \frac{b}{a}$ ; ce flux est celui que coupe le circuit aller-retour (âme, puis gaine), et $\Phi /(I\ell )$ redonne $L_{\text{ext}}^{\prime }$.

2) Dans l'âme. $$W_{\text{aˆme}}^{\prime }={\int }_0^a\frac{1}{2{\mu }_0}(\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}{)}^{2}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi a^4}{\int }_0^a{r}^3\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_0{I}^2}{16\pi },$$ d'où $L_{\text{aˆme}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0}{8\pi }=50\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$, indépendante du rayon de l'âme. Le flux ne s'applique pas simplement : une ligne de champ de rayon $r<a$ n'enlace qu'une fraction $r^2/a^2$ du courant ; il n'y a pas de surface unique que « traverse le circuit ». On peut pondérer le flux par cette fraction, ${\int }_0^a\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}(1-\frac{r^2}{a^2})\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_{0}I}{8\pi }$ par unité de longueur, ce qui redonne le résultat ; mais il faut justifier la pondération, ce que l'énergie évite.

3) Dans la gaine. $$W_{\text{gaine}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi (c^2-b^2{)}^2}{\int }_b^c\frac{(c^2-r^2{)}^2}{r}\mathrm{d}r,$$ $${\int }_b^c\frac{(c^2-r^2{)}^2}{r}\mathrm{d}r=c^4\ln \frac{c}{b}-c^2(c^2-b^2)+\frac{c^4-b^4}{4},$$ en développant $(c^2-r^2{)}^2/r=c^4/r-2c^{2}r+r^3$. D'où $L_{\text{gaine}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0}{2\pi (c^2-b^2{)}^2}[c^4\ln \frac{c}{b}-c^2(c^2-b^2)+\frac{c^4-b^4}{4}]$. Pour une gaine mince d'épaisseur $\epsilon$, c'est environ $\frac{{\mu }_0\epsilon }{6\pi b}$ : la même structure que dans la plaque de l'exercice 2 (un tiers de l'épaisseur compte).

4) Le RG-58. $\ln (b/a)=\ln 3,278=1,187$ : $L_{\text{ext}}^{\prime }=2\times 10^{-7}\times 1,187=237\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$ ; $L_{\text{aˆme}}^{\prime }=50\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$ ; avec $c=1,675\mathrm{mm}$, $L_{\text{gaine}}^{\prime }=9,0\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$ (la formule fermée et l'intégration numérique concordent). Total en courant continu ou basse fréquence : $L^{\prime }\approx 296\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$, dont $80\%$ entre les conducteurs. La valeur du constructeur est une valeur haute fréquence : le courant n'y circule plus que sur la surface de l'âme et sur la face interne de la gaine (effet de peau, étudié plus tard), le champ ne pénètre plus dans les conducteurs, et seule reste la contribution de l'entre-deux, $237\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$ ; l'écart résiduel de $5\%$ tient aux dimensions réelles (âme torsadée, diamètre exact).

5) Un champ confiné. Pour $r>c$, le cercle d'Ampère enlace $I-I=0$ : le champ est nul hors du câble. Le coaxial est magnétiquement invisible pour son voisinage, alors que la paire de l'exercice 1 crée encore $16\mathrm{nT}$ à un mètre : sa géométrie a annulé le terme en $1/r$, celle du coaxial annule tout, grâce à la symétrie de révolution. C'est la raison d'être du câble coaxial pour les signaux sensibles (avec, en plus, l'isolant qui fixe sa capacité).

Ce que l'exercice installe. L'inductance par l'énergie : $\frac{1}{2}{L}^{\prime }{I}^2=\iint u_m\mathrm{d}S$ avec $u_m=B^2/2{\mu }_0$, qui s'applique là où le flux est mal défini (dans un conducteur épais) ; le flux comme vérification là où il est bien défini. Des ordres de grandeur : quelques centaines de nanohenrys par mètre, dont ${\mu }_0/8\pi =50\mathrm{nH}{\mathrm{m}}^{-1}$ dans un fil plein quel que soit son rayon. Et le champ confiné d'une distribution dont le courant total enlacé est nul.