Orientation d'une boussole — exercice corrigé d'électromagnétisme (MPI) (chapitre 3)

Orientation d'une boussole

Magnétostatique · niveau 2

Énoncé

Une petite aiguille aimantée de moment $m$ , de moment d'inertie $J$ autour d'un axe vertical, est placée dans un champ horizontal uniforme $B_{0}$ . Étudier son mouvement autour de sa position d'équilibre. Comment comparer deux champs horizontaux sans connaître ni $m$ ni $J$ ?

Corrigé

Le couple $Γ = m \land B_{0}$ a pour composante sur l'axe de rotation $- m B_{0} sin ϕ$ , où $ϕ$ est l'écart à l'alignement ; le théorème du moment cinétique donne $J ϕ ¨ = - m B_{0} sin ϕ$ . Pour les petits angles : $ϕ ¨ + \frac{m B _{0}}{J} ϕ = 0$ : oscillations harmoniques de pulsation $ω = m B_{0} / J$ autour de $m ∥ B_{0}$ , position d'équilibre stable où l'énergie potentielle $E_{p} = - m \cdot B_{0}$ est minimale (la position $ϕ = π$ est un équilibre instable, $E_{p}$ maximale). La période $T = 2 π J / m B_{0}$ varie comme $B_{0}^{- 1/2}$ : mesurer les périodes $T_{1}$ et $T_{2}$ de la même aiguille dans deux champs donne leur rapport $\frac{B _{1}}{B _{2}} = (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$ , sans connaître ni $m$ ni $J$ . C'est le principe de la mesure de la composante horizontale du champ terrestre par la méthode des oscillations.