Problème : la force entre deux courants parallèles et la définition de l'ampère (1948-2019)

La stratégie. Le théorème d'Ampère donne le champ d'un fil épais, qui, hors du fil, ne se distingue pas de celui d'un fil filiforme. La force de Laplace sur l'autre fil s'ensuit. Les questions suivantes éprouvent la définition : la section des fils, la mesure réelle, le champ parasite, la longueur finie.

1) Le fil épais. Symétries : tout plan contenant l'axe et passant par $M$ contient les courants, c'est un plan de symétrie : $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Invariances : translation selon $z$, rotation autour de l'axe : $B=B(r)$. Contour : le cercle d'axe $Oz$ et de rayon $r$, orienté selon ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, sur lequel $\overrightarrow{B}$ est tangent et de norme constante : $2\pi rB(r)={\mu }_0{I}_{\text{enl}}(r)$. Pour $r<a$, $I_{\text{enl}}=I{r}^2/a^2$ ; pour $r>a$, $I_{\text{enl}}=I$. $$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(r<a),\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(r>a).$$ Le champ croît linéairement dans le fil, est maximal et continu en $r=a$, puis décroît en $1/r$. Hors du fil, il est celui d'un fil filiforme de même intensité, quel que soit $a$.

2) La force entre deux fils. Plaçons le fil 1 sur l'axe $Oz$ et le fil 2 en $d{\overrightarrow{u}}_x$. Au niveau du fil 2, le fil 1 crée ${\overrightarrow{B}}_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}{\overrightarrow{u}}_y$ (car ${\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_x={\overrightarrow{u}}_y$). Sur une longueur $\ell$ du fil 2, la force de Laplace vaut $${\overrightarrow{F}}_{1\to 2}=I_2\ell {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{B}}_1=-\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2\ell }{2\pi d}{\overrightarrow{u}}_x,\frac{F}{\ell }=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}.$$ Elle est dirigée vers le fil 1 si $I_1{I}_2>0$ : deux courants de même sens s'attirent, deux courants de sens opposés se repoussent. Le champ propre du fil 2 : décomposons le fil 2 en filaments parallèles ; son propre champ, orthoradial autour de son axe, exerce sur chaque filament une force radiale (vers l'axe : c'est l'effet de striction), et ces forces se compensent deux à deux par la symétrie de révolution. Seul compte le champ extérieur au fil 2.

La définition de 1948. Avec $I_1=I_2=1\mathrm{A}$, $d=1\mathrm{m}$ et $F/\ell =2\times 10^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $\frac{{\mu }_0}{2\pi }=2\times 10^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}$, donc $${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}\text{exactement}.$$ De 1948 à 2019, cette valeur n'était pas mesurée : c'était une conséquence de la définition de l'unité.

3) La section n'importe pas. Première étape : le fil 1 épais, le fil 2 filiforme. Le champ du fil 1 au niveau du fil 2 est, par la question 1, celui d'un fil filiforme : la force sur le fil 2 est inchangée, et, par le principe des actions réciproques (admis pour ces deux circuits), la force du fil 2 filiforme sur le fil 1 épais aussi. Seconde étape : les deux fils épais. Le champ du fil 1 n'est plus uniforme sur la section du fil 2, et le calcul direct de la force sur le fil 2 serait délicat. On passe par la force du fil 2 sur le fil 1 : elle ne dépend que du champ créé par le fil 2 à l'extérieur de celui-ci, là où se trouve le fil 1, et ce champ est celui d'un fil filiforme (question 1). Cette force est donc celle qu'un fil 2 filiforme exercerait sur le fil 1 épais, soit, par la première étape, ${\mu }_0{I}_1{I}_2\ell /2\pi d$. Par les actions réciproques, la force du fil 1 sur le fil 2 a la même norme. La section ne change rien, tant que chaque fil garde la symétrie de révolution et que les fils ne se touchent pas. Elle importerait pour un conducteur méplat, ou si les conducteurs se déformaient : la mention « négligeable » est une précaution, pas une nécessité.

4) La balance. Les courants étant opposés, la tige mobile est repoussée vers le haut avec $F=\frac{{\mu }_0{I}^2\ell }{2\pi d}$ ; l'équilibre est rétabli quand $mg=F$ : $$I=\sqrt{\frac{2\pi dmg}{{\mu }_0\ell }}.$$ Pour $I=10\mathrm{A}$ : $$F=\frac{2\times 10^{-7}\times 10^2\times 0,20}{5\times 10^{-3}}=8,0\times 10^{-4}\mathrm{N},m=\frac{F}{g}=8,15\times 10^{-5}\mathrm{kg}=81,5\mathrm{mg}.$$ La force est faible : le poids d'une goutte d'eau. Incertitude. $I$ est proportionnel à $\sqrt{dm/\ell }$ ; les incertitudes relatives indépendantes s'ajoutent quadratiquement et la racine carrée les divise par deux : $$\frac{u(I)}{I}=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{u(m)}{m}{)}^2+(\frac{u(d)}{d}{)}^2+(\frac{u(\ell )}{\ell }{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(1,23\times 10^{-2}{)}^2+(1,0\times 10^{-2}{)}^2+(2,5\times 10^{-3}{)}^2}=0,80\%,$$ dominée par la pesée et par la distance, la longueur ne comptant presque pas. La balance de courant mesure une intensité par une masse et des longueurs : c'est ainsi qu'on réalisait l'ampère.

5) Le champ terrestre. Sur la tige mobile, horizontale, la composante horizontale perpendiculaire $B_h$ exerce une force verticale, qui s'ajoute à la pesée ou s'en retranche : $$F_T=I\ell B_h=10\times 0,20\times 20\times 10^{-6}=4\times 10^{-5}\mathrm{N}=5\%\text{de}F,$$ six fois l'incertitude de la question 4. Premier remède : inverser le courant dans les deux tiges ; la force entre tiges, proportionnelle au produit des deux intensités, ne change pas, celle du champ terrestre, proportionnelle à une seule, change de signe : la moyenne des deux pesées l'élimine. Second remède : orienter les tiges selon le méridien magnétique, nord-sud ; la composante horizontale est alors parallèle à la tige et n'exerce aucune force, et la composante verticale ne donne qu'une force horizontale, que la balance ne pèse pas.

6) Cas limites et limites de la définition. Longueur finie. Le facteur $\sqrt{{\ell }^2+d^2}-d=\ell (\sqrt{1+d^2/{\ell }^2}-d/\ell )$ remplace $\ell$. Pour $d\ll \ell$, il vaut $\ell (1-d/\ell )$ : la correction est d'ordre $d/\ell$, les extrémités de chaque tige « voyant » moins de courant en face d'elles. Ici $d/\ell =0,025$ et le facteur vaut $0,975$ : la force est $2,5\%$ plus faible que la formule du fil infini, trois fois l'incertitude de mesure : il faut la corriger (et tenir compte des amenées de courant, que la formule ignore). Pour $d\to 0$ on retrouve le fil infini ; pour $d\gg \ell$, le facteur tend vers ${\ell }^2/2d$ et la force décroît en $1/d^2$, comme entre deux petits éléments de courant. Dans le vide : un milieu matériel modifie le champ créé par les courants ; dans l'air, la correction relative n'est que d'environ $4\times 10^{-7}$, mais une définition doit être exacte. Depuis 2019, la charge élémentaire est fixée, $e=1,602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$, et l'ampère en découle (un débit de charges élémentaires) : ${\mu }_0$ devient une grandeur mesurée, ${\mu }_0/(4\pi \times 10^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1})=1,00000000055$ (CODATA 2018), égale à $4\pi \times 10^{-7}$ à mieux que $10^{-9}$ près. La formule de la question 2 n'a pas changé ; c'est son statut qui a changé.

Le résultat obtenu — la force entre deux courants rectilignes parallèles et la définition de l'ampère de 1948. Deux conducteurs rectilignes infinis, parallèles, distants de $d$, parcourus par $I_1$ et $I_2$, exercent l'un sur l'autre une force par unité de longueur $F/\ell ={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi d)$, attractive pour des courants de même sens, répulsive pour des courants opposés, indépendante de la section des conducteurs pourvu qu'elle soit circulaire. La définition de 1948 ($2\times 10^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ pour $1\mathrm{A}$ à $1\mathrm{m}$) fixait ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$ exactement ; depuis 2019, ${\mu }_0$ est mesurée et vaut cette valeur à $10^{-9}$ près.

Ce que le problème installe. La chaîne complète d'un résultat de magnétostatique : établir le champ d'un fil épais (symétries, invariances, contour), constater que l'extérieur ignore la section, appliquer la force de Laplace, puis éprouver le modèle : la section (par les actions réciproques), la mesure (balance, incertitudes), les champs parasites (inversion du courant), la longueur finie (correction d'ordre $d/\ell$). Et la différence entre une constante fixée par définition et une constante mesurée.