Câble coaxial : capacité linéique et rayon optimal $R_2/R_1=e$

La stratégie. Avec $\ell \gg R_2$, le câble est infini (loin des extrémités) : Gauss sur un cylindre coaxial, circulation, capacité. Puis une optimisation : le champ est maximal au ras du conducteur intérieur.

1) Le champ. Invariances : translation le long de l'axe et rotation autour de lui : $E$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe. Symétries : en $M$, le plan qui contient $M$ et l'axe et le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$ sont plans de symétrie : $\overrightarrow{E}=E(r){\overrightarrow{u}}_r$, radial. Gauss sur le cylindre $\mathcal{S}$ de rayon $r$ et de hauteur $h$ : flux nul à travers les bases, $E(r)2\pi rh$ à travers la paroi.

• $R_1<r<R_2$ : le cylindre entoure toute la charge du conducteur central sur la hauteur $h$, et rien de la gaine : $Q_{\text{int}}=\lambda h$, donc $E(r)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$, le champ du fil seul : la charge extérieure n'y contribue pas, et la façon dont $+\lambda$ se répartit dans le conducteur central non plus.
• À l'extérieur du câble : le cylindre entoure les deux conducteurs, $Q_{\text{int}}=\lambda h-\lambda h=0$, donc $E=0$ : le câble chargé ne crée aucun champ à l'extérieur.
• Dans les conducteurs eux-mêmes, le champ dépend de la répartition des charges, que l'énoncé ne donne pas : on n'en a pas besoin.

2) Capacité linéique. Par circulation le long d'un rayon : $$U=V(R_1)-V(R_2)={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\mathrm{d}r=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{R_2}{R_1},\frac{C}{\ell }=\frac{\lambda }{U}=\frac{2\pi {\epsilon }_0}{\ln (R_2/R_1)}.$$ Pour le RG58 : $\ln (1,47/0,45)=1,18$ et $C/\ell \approx 47\mathrm{pF}{\mathrm{m}}^{-1}$. La mesure donne environ deux fois plus : l'isolant (polyéthylène) multiplie la capacité par sa permittivité relative, $2,25$, d'où $106\mathrm{pF}{\mathrm{m}}^{-1}$. (Les isolants ne sont pas au programme : le modèle « vide » donne le bon ordre de grandeur.) La capacité ne dépend que du rapport des rayons, et par son logarithme seulement.

3) Le condensateur plan comme cas limite. Si $e\ll R_1$, $\ln \frac{R_2}{R_1}=\ln \left(1+\frac{e}{R_1}\right)\simeq \frac{e}{R_1}$, et $$C\simeq \frac{2\pi {\epsilon }_0\ell R_1}{e}=\frac{{\epsilon }_0(2\pi R_1\ell )}{e}:$$ c'est la capacité ${\epsilon }_{0}S/e$ d'un condensateur plan d'aire $S=2\pi R_1\ell$, la surface latérale du conducteur central. Pour $e/R_1=10^{-2}$ : $\frac{2\pi {\epsilon }_0}{\ln 1,01}=5,588\mathrm{nF}{\mathrm{m}}^{-1}$ contre $\frac{2\pi {\epsilon }_0}{0,01}=5,561\mathrm{nF}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $0,5\%$ d'écart, soit la moitié de $e/R_1$, comme le dit le développement $\ln (1+u)\simeq u-u^2/2$.

4) Le rayon optimal $R_1=R_2/\mathrm{e}$. Le champ décroît en $1/r$ : il est maximal entre les conducteurs au ras du conducteur central, $$E_{\max }=E(R_1)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0{R}_1}=\frac{U}{R_1\ln (R_2/R_1)}.$$ Le claquage survient quand $E_{\max }$ atteint $E_d$ : $U_{\max }=E_d{R}_1\ln \frac{R_2}{R_1}=E_d{R}_{2}f(x)$, avec $x=\frac{R_1}{R_2}$ et $f(x)=x\ln \frac{1}{x}$. Or $f^{\prime }(x)=-\ln x-1$ s'annule pour $x=1/\mathrm{e}$, où $f=1/\mathrm{e}$ : $$R_1^{\text{opt}}=\frac{R_2}{\mathrm{e}}=3,7\mathrm{mm},U_{\max }=\frac{E_d{R}_2}{\mathrm{e}}=\frac{3,0\times 10^6\times 1,0\times 10^{-2}}{2,718}\approx 11\mathrm{kV}.$$ Pour $R_1=1\mathrm{mm}$ : $U_{\max }=3,0\times 10^6\times 10^{-3}\times \ln 10\approx 6,9\mathrm{kV}$ ; pour $R_1=0,5\mathrm{mm}$ : $3,0\times 10^6\times 5\times 10^{-4}\times \ln 20\approx 4,5\mathrm{kV}$.

Commentaire. Un conducteur intérieur trop fin concentre le champ ($1/r$) et claque le premier, même si l'écart entre conducteurs est grand ; un conducteur trop gros laisse un intervalle trop étroit. L'optimum est plat : entre $R_1=2\mathrm{mm}$ et $5\mathrm{mm}$, $U_{\max }$ reste au-dessus de $9,6\mathrm{kV}$. C'est la règle de conception des câbles haute tension ; à l'inverse, un fil fin ionise l'air à tension modérée (effet couronne des électrofiltres). Pour des rayons submillimétriques, le champ disruptif effectif croît un peu : les valeurs à petit $R_1$ sont pessimistes.

Ce que l'exercice installe. Le schéma complet symétries, Gauss, circulation, capacité, appliqué à une géométrie qui n'est pas celle du cours ; le cas limite qui retrouve le condensateur plan ; et un réflexe d'ingénieur : à tension fixée, le champ maximal (donc le claquage) se joue au ras du conducteur le plus courbé, et se minimise par un rapport de rayons, ici $R_2/R_1=\mathrm{e}$.