Cylindre plein uniformément chargé — exercice corrigé d'électromagnétisme (PT) (chapitre 1)

Cylindre plein uniformément chargé

Électrostatique · niveau 1 (application)

Énoncé

Un cylindre infini de rayon $R$ , d'axe $O z$ , est chargé uniformément en volume ( $ρ > 0$ ). Déterminer $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur, et tracer $E (r)$ .

Corrigé

Invariances par translation selon $O z$ et rotation autour de $O z$ , plans de symétrie contenant l'axe et perpendiculaire à l'axe : $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss cylindrique de rayon $r$ , hauteur $h$ : $Φ = E (r) 2 π r h$ .

$r \leq R$ : $Q_{int} = ρ π r^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ r}{2 ε _{0}}$ (croissance linéaire).
$r \geq R$ : $Q_{int} = ρ π R^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ R ^{2}}{2 ε _{0} r} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ avec $λ = ρ π R^{2}$ .

On retrouve à l'extérieur le champ du fil infini de même charge linéique ; le champ est continu en $r = R$ (pas de charge surfacique).