Modèle de l'atome : le noyau rappelé au centre du nuage

Électrostatique · niveau 2

Énoncé

Une charge ponctuelle $+ e$ (le noyau) est au centre d'une boule de rayon $R$ uniformément chargée de la charge $- e$ (le nuage électronique). Déterminer $E (r)$ pour $r \leq R$ et $r \geq R$ . Le nuage restant indéformé, on déplace le noyau de $x ≪ R$ : montrer qu'il subit une force de rappel élastique et calculer la raideur pour $R = 53 pm$ .

Corrigé

Par superposition du noyau et du nuage, et Gauss pour le nuage (champ $- \frac{e r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ à l'intérieur) :

$E (r) = \frac{e}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{r ^{2}} - \frac{r}{R ^{3}}) (r \leq R), E (r) = 0 (r \geq R),$

nul à l'extérieur puisque l'atome est neutre. Le noyau déplacé de $x$ par rapport au centre du nuage ne subit que le champ du nuage (il n'agit pas sur lui-même) :

$F = e (- \frac{e x}{4 π ε _{0} R ^{3}}) = - k x, k = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} R ^{3}} \approx 1.5 \times 1 0^{3} N / m$

pour $R = 53 pm$ . Une force de rappel élastique : c'est le modèle de l'électron élastiquement lié. Pour les classes qui étudient le dipôle (MP, MPI) : dans un champ extérieur $E_{0}$ , le noyau s'écarte de $x = e E_{0} / k$ (soit $1 0^{- 16} m$ pour $E_{0} = 1 0^{6} V / m$ , infime devant $R$ ), et l'atome acquiert le moment dipolaire induit $p = e x = 4 π ε_{0} R^{3} E_{0}$ , proportionnel au champ.