électronique (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Du carré à la sinusoïde : lire et filtrer des spectres

Oscillateurs · B. Non-linéarités et spectres · niveau 2

Énoncé

Un générateur de fonctions délivre un carré et un triangle de même fréquence $f_{0}$ et d'amplitude $V$ . On donne leurs séries de Fourier (rangs impairs seulement) : $carr e ˊ : b_{n} = \frac{4 V}{nπ}, triangle : b_{n} = \frac{8 V}{n ^{2} π ^{2}} (n impair),$ et les sommes $n impair \sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8}$ , $n impair \sum \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96}$ .

1) Pourquoi les rangs pairs sont-ils absents ? Comparer la décroissance des harmoniques des deux signaux et la relier à leur forme.

2) Calculer le taux de distorsion harmonique de chacun (par rapport à une sinusoïde de fréquence $f_{0}$ ).

3) Pour obtenir une sinusoïde, on filtre le signal par un passe-bas du deuxième ordre de fréquence de coupure $f_{0}$ et de facteur de qualité $\frac{1}{2}$ , de gain $\frac{1}{1 + ( f / f _{0} ) ^{4}}$ . Calculer le taux de distorsion du signal filtré, pour le carré et pour le triangle. L'exigence « THD inférieur à $2 %$ » est-elle tenue ?

Corrigé

La stratégie. Le THD se calcule directement sur les amplitudes, puisque les valeurs efficaces leur sont proportionnelles ; les sommes données évitent tout calcul de série.

1) Symétrie et décroissance. Les deux signaux vérifient $s (t + T /2) = - s (t)$ (symétrie de glissement d'une demi-période) : les harmoniques pairs, qui vérifient $s (t + T /2) = + s (t)$ , ne peuvent y figurer. Le carré, discontinu, a des harmoniques qui décroissent en $1/ n$ ; le triangle, continu mais à dérivée discontinue, en $1/ n^{2}$ : plus un signal est régulier, plus son spectre décroît vite.

2) Taux de distorsion. Carré : $THD = n ⩾ 3 \sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8} - 1 = 48, 3 %$ . Triangle : $\frac{π ^{4}}{96} - 1 = 12, 1 %$ . Le triangle est quatre fois plus proche d'une sinusoïde.

3) Après filtrage. Le fondamental est atténué de $\frac{1}{2}$ , l'harmonique de rang $n$ de $\frac{1}{1 + n ^{4}}$ . Pour le triangle, le rang $3$ passe de $\frac{1}{9}$ à $\frac{1}{9} \times \frac{2}{82} = 1, 74 %$ du fondamental, le rang $5$ à $0, 23 %$ , les suivants sont négligeables : $THD = 1, 75 %$ , exigence tenue. Pour le carré, le rang $3$ ne tombe qu'à $\frac{1}{3} \times \frac{2}{82} = 5, 2 %$ , et l'ensemble donne $5, 3 %$ : non tenue. Mieux vaut partir du signal dont le spectre décroît le plus vite. Limite de la méthode : le filtre est accordé sur $f_{0}$ ; si l'on change de fréquence sans changer le filtre, le résultat se dégrade. Les générateurs de fonctions utilisent plutôt un conformateur non linéaire qui arrondit les pointes du triangle.

Ce que l'exercice installe. Lire un spectre : rangs présents (symétries), loi de décroissance (régularité du signal), taux de distorsion (une somme de carrés). Un filtrage passe-bas sépare d'autant mieux le fondamental que les harmoniques décroissent vite.

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