électronique (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Émetteur à ultrasons à $40 k H z$ : un astable à un ALI

Oscillateurs · C. Oscillateurs de relaxation · niveau 2

Énoncé

Un télémètre à ultrasons excite son émetteur par un signal carré à $40 kHz$ produit par un astable à un ALI : un comparateur à hystérésis inverseur (entrée $+$ reliée à la sortie par $R_{2}$ et à la masse par $R_{1}$ ) dont l'entrée $-$ est reliée au point commun d'un condensateur $C$ (vers la masse) et d'une résistance $R$ (vers la sortie). On note $k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ ; $V_{sat} = 14 V$ .

1) Justifier que l'ALI fonctionne en régime saturé. Donner les deux seuils de basculement de $u_{C}$ .

2) Décrire les séquences de fonctionnement en partant de $u = + V_{sat}$ et $u_{C} = - k V_{sat}$ , et tracer l'allure de $u (t)$ et $u_{C} (t)$ .

3) Établir la durée d'une demi-période, puis la période $T$ . Montrer qu'elle ne dépend pas de $V_{sat}$ .

4) On prend $R_{1} = R_{2}$ et $C = 1, 0 nF$ . Calculer $R$ pour $40 kHz$ .

5) La vitesse limite de balayage de l'ALI vaut $13 V μ s^{- 1}$ . Quelle est la durée d'un basculement ? Quelle fraction de la demi-période représente-t-elle ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Régime par le câblage ; seuils par $ε = 0$ pour chaque état ; sur chaque demi-période, $u$ est constant et $u_{C}$ obéit à un premier ordre $R C$ ; un basculement se produit quand $u_{C}$ atteint le seuil actif.

1) Régime saturé, deux seuils. La rétroaction par $R_{2}$ revient sur l'entrée $+$ , celle par $R$ sur l'entrée $-$ passe par un condensateur qui ne suit pas instantanément : le comparateur à hystérésis domine, la sortie vaut $\pm V_{sat}$ . $V_{+} = k u$ , et le basculement a lieu quand $u_{C} = V_{+}$ : seuils $\pm k V_{sat}$ .

2) Les séquences. Charge : $u = + V_{sat}$ , $C$ se charge à travers $R$ , $u_{C}$ monte exponentiellement vers $+ V_{sat}$ . Basculement haut : quand $u_{C}$ atteint $+ k V_{sat}$ , $ε = V_{+} - V_{-}$ s'annule puis devient négatif ; $u$ passe à $- V_{sat}$ et le seuil devient $- k V_{sat}$ . Décharge : $u_{C}$ descend vers $- V_{sat}$ . Basculement bas : à $u_{C} = - k V_{sat}$ , $u$ revient à $+ V_{sat}$ . Aucun état n'est stable : le montage oscille de lui-même.

3) La période. Pendant la charge, $u_{C} (t) = V_{sat} + (u_{C} (0) - V_{sat}) e^{- t / R C}$ avec $u_{C} (0) = - k V_{sat}$ . Le basculement a lieu à $T_{1}$ tel que $u_{C} (T_{1}) = k V_{sat}$ : $k V_{sat} = V_{sat} - (1 + k) V_{sat} e^{- T_{1} / R C} ⟹ T_{1} = R C ln \frac{1 + k}{1 - k} .$ Par symétrie la décharge dure autant : $T = 2 R C ln \frac{1 + k}{1 - k}$ . $V_{sat}$ s'est simplifié : la période ne dépend que de $R$ , $C$ et du rapport des résistances du pont, pas de l'alimentation.

4) Dimensionnement. $R_{1} = R_{2}$ donne $k = \frac{1}{2}$ et $T = 2 R C ln 3$ . Pour $T = 25 μ s$ : $R = \frac{25 \times 1 0 ^{- 6}}{2 \times 1 0 ^{- 9} \times 1 , 099} = 11, 4 kΩ$ .

5) La vitesse de balayage. Un basculement fait passer $u$ de $- 14$ à $+ 14 V$ : $28 V$ à $13 V μ s^{- 1}$ prennent $2, 2 μ s$ , soit $17 %$ de la demi-période de $12, 5 μ s$ . Le « carré » a des fronts très inclinés ; pendant ce temps, $u$ n'est pas égal à $\pm V_{sat}$ , la charge du condensateur est modifiée et la période réelle s'allonge. À $40 kHz$ , un ALI généraliste est trop lent : il faut un comparateur rapide (circuit conçu pour basculer en quelques dizaines de nanosecondes). Au-dessous de quelques kilohertz, l'effet devient négligeable.

Ce que l'exercice installe. Un oscillateur de relaxation s'étudie par séquences : sur chacune, l'état du comparateur est fixé et le circuit est linéaire ; un basculement se produit à l'atteinte d'un seuil ; la période est la somme des durées. Elle est indépendante de l'alimentation. La vitesse de balayage borne la fréquence utilisable.

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