électronique (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Générateur audio à pont de Wien : Barkhausen et tolérances

Oscillateurs · A. Oscillateurs quasi-sinusoïdaux · niveau 2

Énoncé

Un générateur de signaux audio est un oscillateur à pont de Wien : un amplificateur non inverseur de gain $A = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}$ (chaîne directe) est bouclé par un filtre de Wien (une branche $R$ , $C$ série, puis une branche $R$ , $C$ parallèle reliée à la masse), dont la sortie est ramenée sur l'entrée non inverseuse. On donne la fonction de transfert du filtre, avec $x = R C ω$ : $B (j ω) = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )} .$

1) Écrire le gain de boucle $T (j ω)$ . Énoncer la condition de Barkhausen, puis en déduire la pulsation d'oscillation et la valeur théorique de $A$ .

2) Pourquoi la condition de phase, et non celle de gain, sélectionne-t-elle la fréquence ?

3) On veut $f_{0} = 1, 0 kHz$ avec $C = 15 nF$ . Calculer $R$ .

4) Pour démarrer, l'oscillateur doit avoir $A > 3$ . Les résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ sont connues à $\pm 5 %$ . Un premier projet prend $R_{2} = 2, 1 R_{1}$ (nominalement $A = 3, 1$ ). Le démarrage est-il garanti pour tous les montages fabriqués ? Quel rapport $R_{2} / R_{1}$ nominal minimal faut-il ?

Corrigé

La stratégie. Le gain de boucle est le produit de ce que rencontre un signal en faisant le tour de la boucle : $T = A B$ . Barkhausen : $T (j ω_{0}) = 1$ , qu'on sépare en argument et module.

1) Les conditions théoriques. $T (j ω) = \frac{A}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )}$ ( $A$ réel positif). Un signal sinusoïdal peut se reproduire identique à lui-même après un tour si $T (j ω_{0}) = 1$ , c'est-à-dire $ar g T = 0$ et $∣ T ∣ = 1$ . Phase nulle : la partie imaginaire du dénominateur s'annule, $x - \frac{1}{x} = 0$ , soit $x = 1$ : $ω_{0} = \frac{1}{R C}, f_{0} = \frac{1}{2 π R C} .$ Gain unité à cette pulsation : $B (j ω_{0}) = \frac{1}{3}$ , donc $A = 3$ , soit $R_{2} = 2 R_{1}$ .

2) La phase choisit la fréquence. $A$ est un nombre réel : il ne déphase pas. La seule pulsation où le signal revient en phase après un tour est celle où le filtre ne déphase pas, $ω_{0}$ ; à toute autre pulsation, chaque tour ajoute un déphasage et les contributions successives se détruisent. La condition de gain, elle, porte sur un module : elle fixe la valeur de $A$ et ne dit rien de la fréquence. C'est pourquoi la fréquence d'un oscillateur est fixée par des composants passifs (ici $R$ et $C$ ), et sa stabilité en fréquence par leur stabilité.

3) Dimensionnement. $R = \frac{1}{2 π f _{0} C} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{3} \times 15 \times 1 0 ^{- 9}} = 10, 6 kΩ$ .

4) Les tolérances. Le gain le plus faible est obtenu pour $R_{2}$ au minimum et $R_{1}$ au maximum : $A_{m i n} = 1 + \frac{0 , 95 R _{2}}{1 , 05 R _{1}}$ . Avec $R_{2} = 2, 1 R_{1}$ : $A_{m i n} = 1 + 2, 1 \times \frac{0 , 95}{1 , 05} = 2, 90 < 3$ : certains exemplaires ne démarrent pas. Il faut $\frac{R _{2}}{R _{1}} ⩾ 2 \times \frac{1 , 05}{0 , 95} = 2, 21$ , soit $A ⩾ 3, 21$ nominal (par exemple $R_{1} = 10 kΩ$ , $R_{2} = 22 kΩ$ plus un ajustable). Le prix : un gain qui dépasse franchement $3$ sature fortement l'ALI et déforme le signal (exercices 3 et 6).

Ce que l'exercice installe. Barkhausen se sépare en deux : la phase donne la fréquence, le module donne le gain. Une condition théorique d'égalité ( $A = 3$ ) ne se réalise jamais : la conception raisonne en pire cas sur les tolérances, et la marge de démarrage se paie en distorsion.

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