Oscillateur à circuit $RLC$ et amplificateur : le gain qui fait démarrer

La stratégie. Barkhausen sur $\underline{T}=K\underline{H}$ donne les conditions théoriques ; l'équation différentielle de la boucle donne l'inégalité de démarrage, à lire sur le signe du coefficient de $\dot{s}$.

1) Barkhausen. $\underline{T}(j\omega )=K\underline{H}(j\omega )$ ; $\underline{H}(j\omega )=\frac{1}{1+jQ\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }\right)}$ (on divise par $\frac{j\omega }{Q{\omega }_0}$) est réel et égal à $1$ pour $\omega ={\omega }_0$. Phase nulle en ${\omega }_0$ : oscillation à $f_0=100\mathrm{kHz}$. Module unité : $K=1$.

2) L'équation et l'inégalité. Pour le filtre, $D(p)v=N(p)s$, soit $\frac{\ddot{v}}{{\omega }_0^2}+\frac{\dot{v}}{Q{\omega }_0}+v=\frac{\dot{s}}{Q{\omega }_0}$. Avec $v=s/K$, puis en multipliant par $K{\omega }_0^2$ : $$\ddot{s}+(1-K)\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{s}+{\omega }_0^{2}s=0.$$ Le coefficient de $\dot{s}$ vaut $2\lambda =(1-K)\frac{{\omega }_0}{Q}$. Démarrage : régime libre croissant, il faut $\lambda <0$, soit $\boxed{K>1}$. Barkhausen donnait $K=1$, qui correspond à $\lambda =0$ : pôles imaginaires purs, oscillation d'amplitude constante. L'équation différentielle précise le sens de l'inégalité : $K$ légèrement supérieur à la valeur de Barkhausen. Physiquement, $1$ représente les pertes du circuit $RLC$ (le filtre, à la résonance, transmet au mieux $100\%$), et l'amplificateur doit les compenser avec un excédent.

3) La croissance. $|\lambda |=\frac{(K-1){\omega }_0}{2Q}=\frac{0,05\times 2\pi \times 10^5}{40}=785{\mathrm{s}}^{-1}$. L'amplitude, multipliée par $\mathrm{e}$ toutes les $1,3\mathrm{ms}$, passe de $1\mathrm{mV}$ à $10\mathrm{V}$ en $$t=\frac{\ln (10^4)}{785}=11,7\mathrm{ms},$$ soit $1170$ périodes de $10\mu \mathrm{s}$ : une croissance lente à l'échelle de la période, d'où une oscillation quasi sinusoïdale pendant toute la montée (la pseudo-pulsation vaut ${\omega }_0\sqrt{1-{\lambda }^2/{\omega }_0^2}$, indiscernable de ${\omega }_0$). À l'échelle humaine, l'oscillateur démarre « instantanément ».

4) Les deux autres cas. $K=0,95$ : $\lambda >0$, toute fluctuation s'amortit en $\frac{1}{\lambda }=1,3\mathrm{ms}$ : rien ne sort, l'oscillateur est un filtre stable. $K=1$ : en théorie une oscillation d'amplitude quelconque, en pratique impossible à tenir (la moindre dérive fait basculer d'un côté ou de l'autre). On règle donc $K$ un peu au-dessus de $1$ et l'on compte sur une non-linéarité pour arrêter la croissance.

Ce que l'exercice installe. Deux outils complémentaires : Barkhausen donne la fréquence et la valeur critique du gain ; l'équation différentielle donne l'inégalité de démarrage et le temps de montée, $\frac{1}{|\lambda |}=\frac{2Q}{(K-1){\omega }_0}$. Plus la marge $K-1$ est faible, plus le démarrage est lent.