électronique (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème : le générateur de fonctions, ou la période de l'oscillateur associant un intégrateur et un comparateur à hystérésis

Oscillateurs · C. Oscillateurs de relaxation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un générateur de fonctions de laboratoire produit simultanément un signal carré $u$ et un signal triangulaire $v$ . Il associe un intégrateur inverseur (résistance $R$ réglable, condensateur $C = 10 nF$ ), qui reçoit $u$ et délivre $v$ , et un comparateur à hystérésis non inverseur ( $v$ attaque l'entrée $+$ par $R_{1} = 10 kΩ$ , la sortie $u$ y revient par $R_{2} = 20 kΩ$ , l'entrée $-$ est à la masse). Les deux ALI sont idéaux, $V_{sat} = 14 V$ , vitesse limite de balayage $13 V μ s^{- 1}$ .

1) Le comparateur. Justifier son régime. Montrer que $V_{+} = \frac{R _{2} v + R _{1} u}{R _{1} + R _{2}}$ et en déduire ses deux seuils de basculement $\pm V_{h}$ , avec $V_{h} = \frac{R _{1}}{R _{2}} V_{sat}$ . Tracer son cycle $u (v)$ . En quoi a-t-il une mémoire ?

2) L'intégrateur. Établir $\frac{d v}{d t} = - \frac{u}{R C}$ . Quelle est la forme de $v$ quand $u$ est constant ?

3) Les séquences et la période. Décrire les séquences de fonctionnement en partant de $u = + V_{sat}$ , $v = + V_{h}$ . Établir la période $T$ des oscillations. Dépend-elle de $V_{sat}$ ?

4) Démarrage et condition d'existence. Pourquoi l'oscillation démarre-t-elle d'elle-même, quel que soit l'état initial ? Que se passerait-il si l'on avait $R_{1} > R_{2}$ ?

5) Gamme de fréquences. Calculer l'amplitude du triangle et la fréquence pour $R$ variant de $1 kΩ$ à $100 kΩ$ . Quelle valeur de $R$ donne $1, 0 kHz$ ? La vitesse limite de balayage impose que la durée d'un basculement de $u$ reste inférieure à $5 %$ d'une demi-période : jusqu'à quelle fréquence le générateur est-il utilisable ? L'intégrateur, lui, suit-il ?

6) Spectres et résultat. Donner l'amplitude du fondamental et de l'harmonique de rang $3$ du triangle et du carré (séries de l'exercice 5). Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Deux blocs, deux régimes : le comparateur en saturation (seuils), l'intégrateur en régime linéaire (rampes). Sur une séquence, $u$ est constant et $v$ est une droite ; la séquence dure le temps de parcourir l'écart entre les deux seuils.

1) Le comparateur. La seule rétroaction ( $R_{2}$ ) revient sur l'entrée $+$ , l'entrée $-$ est à la masse : régime saturé, $u = \pm V_{sat}$ selon le signe de $V_{+}$ . Aucun courant n'entre dans l'ALI : la loi des nœuds en l'entrée $+$ , $\frac{v - V _{+}}{R _{1}} + \frac{u - V _{+}}{R _{2}} = 0$ , donne $V_{+} = \frac{R _{2} v + R _{1} u}{R _{1} + R _{2}}$ . Le basculement a lieu quand $V_{+}$ s'annule, c'est-à-dire pour $v = - \frac{R _{1}}{R _{2}} u$ . Si $u = + V_{sat}$ , la sortie bascule quand $v$ descend jusqu'à $- V_{h}$ ; si $u = - V_{sat}$ , quand $v$ monte jusqu'à $+ V_{h}$ , avec $V_{h} = \frac{R _{1}}{R _{2}} V_{sat}$ . Le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique (comparateur non inverseur : $u$ a le signe de $v$ loin des seuils). Pour $∣ v ∣ < V_{h}$ , les deux états sont possibles : la sortie dépend du passé, c'est une mémoire.

2) L'intégrateur. Masse virtuelle à son entrée $-$ ; le courant $\frac{u}{R}$ charge le condensateur : $\frac{u}{R} = C \frac{d ( 0 - v )}{d t}$ , soit $\frac{d v}{d t} = - \frac{u}{R C}$ . Pour $u$ constant, $v$ est une droite de pente $\mp \frac{V _{sat}}{R C}$ : un vrai triangle, et non des morceaux d'exponentielles.

3) Séquences et période. Séquence 1 : $u = + V_{sat}$ , $v$ décroît de $+ V_{h}$ à la pente $- \frac{V _{sat}}{R C}$ . Basculement : quand $v = - V_{h}$ , $V_{+}$ s'annule, $u$ passe à $- V_{sat}$ . Séquence 2 : $v$ croît de $- V_{h}$ à la pente $+ \frac{V _{sat}}{R C}$ . Basculement : à $v = + V_{h}$ , retour à la séquence 1. Chaque séquence parcourt $2 V_{h}$ à la vitesse $\frac{V _{sat}}{R C}$ et dure $\frac{2 V _{h} R C}{V _{sat}} = 2 R C \frac{R _{1}}{R _{2}}$ ; d'où $T = 4 R C \frac{R _{1}}{R _{2}} .$ $V_{sat}$ s'est éliminé : les seuils et la pente lui sont tous deux proportionnels.

4) Démarrage et condition d'existence. Il n'existe aucun état d'équilibre : si $u = + V_{sat}$ , $v$ décroît sans fin jusqu'à atteindre $- V_{h}$ ; si $u = - V_{sat}$ , il croît jusqu'à $+ V_{h}$ . Quel que soit l'état initial, un seuil finit par être atteint : l'oscillation démarre seule, sans condition de gain (à la différence d'un oscillateur quasi-sinusoïdal). Il faut cependant que le seuil soit accessible : $v$ ne peut dépasser $\pm V_{sat}$ (l'intégrateur saturerait). Si $R_{1} > R_{2}$ , $V_{h} > V_{sat}$ : l'intégrateur sature avant que $v$ atteigne le seuil, le comparateur ne bascule jamais, le montage reste bloqué. Condition : $R_{1} < R_{2}$ .

5) Gamme de fréquences. $V_{h} = \frac{10}{20} \times 14 = 7, 0 V$ : le triangle oscille entre $\pm 7, 0 V$ quelle que soit la fréquence. $T = 2 R C$ , $f = \frac{1}{2 R C}$ : $50 kHz$ pour $R = 1 kΩ$ , $500 Hz$ pour $100 kΩ$ ; $1, 0 kHz$ pour $R = 50 kΩ$ . La fréquence est proportionnelle à $1/ R$ : un potentiomètre gradué donne une échelle simple. Un basculement de $u$ ( $28 V$ à $13 V μ s^{- 1}$ ) dure $2, 15 μ s$ ; il doit rester sous $5 %$ de $\frac{T}{2}$ , donc $\frac{T}{2} ⩾ 43 μ s$ et $f ⩽ 11, 6 kHz$ : la gamme haute (jusqu'à $50 kHz$ ) n'est pas tenue avec ces ALI ; on utilise un comparateur rapide. L'intégrateur, lui, doit produire au plus une pente $\frac{V _{sat}}{R C} = \frac{14}{1 0 ^{3} \times 1 0 ^{- 8}} = 1, 4 V μ s^{- 1}$ (pour $R = 1 kΩ$ ), inférieure à $13$ : il suit.

6) Spectres et résultat. Triangle d'amplitude $7, 0 V$ : fondamental $\frac{8 \times 7 , 0}{π ^{2}} = 5, 7 V$ , rang $3$ : $\frac{5 , 7}{9} = 0, 63 V$ . Carré d'amplitude $14 V$ : fondamental $\frac{4 \times 14}{π} = 17, 8 V$ (plus grand que $V_{sat}$ : les harmoniques « creusent » la sinusoïde pour former les plateaux), rang $3$ : $5, 9 V$ . À l'analyseur de spectre, les deux signaux ont les mêmes raies (rangs impairs), le triangle beaucoup plus pur.

Résultat établi : la période de l'oscillateur de relaxation associant un intégrateur et un comparateur à hystérésis, $T = 4 R C \frac{R _{1}}{R _{2}}$ — chaque séquence est une rampe de pente $\frac{V _{sat}}{R C}$ qui parcourt l'écart $\frac{2 R _{1}}{R _{2}} V_{sat}$ entre les deux seuils ; la période ne dépend pas de l'alimentation. L'oscillation existe à condition que les seuils soient accessibles ( $R_{1} < R_{2}$ ).

Ce que le problème installe. La méthode de tout oscillateur de relaxation : seuils du comparateur (régime saturé), évolution entre deux basculements (ici une droite), durée de chaque séquence, somme. On y ajoute les vérifications d'ingénieur : condition d'existence, gamme de fréquences, limites dues à la vitesse de balayage, spectres.

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