électronique (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Simuler le pont de Wien saturé : le compromis entre démarrage et pureté

Oscillateurs · D. Capacité numérique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On simule un oscillateur à pont de Wien dont l'ALI sature : on note $x = V_{+}$ et l'on modélise l'amplificateur par $s = f (x)$ , avec $f (x) = A x$ si $∣ A x ∣ < V_{sat}$ et $f (x) = \pm V_{sat}$ sinon ( $V_{sat} = 14 V$ ). On admet que le filtre de Wien impose $s = 3 x + R C x ˙ + \frac{1}{R C} \int x d t$ .

1) En dérivant cette relation, montrer qu'en temps réduit $u = t / R C$ , $x$ obéit à $x^{''} + (3 - f^{'} (x)) x^{'} + x = 0$ , où $f^{'} (x)$ vaut $A$ dans la zone linéaire et $0$ en saturation. Interpréter le coefficient de $x^{'}$ selon la zone.

2) Écrire le schéma d'Euler correspondant, de pas $h$ (une boucle de quelques lignes), à partir de $x (0) = 1 0^{- 4} V$ , $x^{'} (0) = 0$ .

3) Le régime établi simulé donne : pour $A = 3, 05$ , une sortie écrêtée pendant $22 %$ du temps, une période $1, 002$ fois celle de Barkhausen, un taux de distorsion de $2, 7 %$ (mesuré sur le spectre du signal simulé) ; pour $A = 4$ , une sortie écrêtée $63 %$ du temps, une période $1, 15$ fois plus longue, un taux de distorsion de $26 %$ . Pour $A = 3, 05$ , estimer par le modèle linéaire la durée de démarrage (en $R C$ ) et la comparer à la simulation, qui donne $427 R C$ pour atteindre $90 %$ de l'amplitude finale. Conclure sur le choix de $A$ .

Corrigé

La stratégie. Dériver une fois pour éliminer l'intégrale ; lire le coefficient de $x^{'}$ comme un amortissement qui change de signe selon la zone ; simuler deux équations du premier ordre.

1) L'équation. En dérivant : $s ˙ = 3 x ˙ + R C x ¨ + \frac{x}{R C}$ , et $s ˙ = f^{'} (x) x ˙$ . D'où $R C x ¨ + (3 - f^{'} (x)) x ˙ + \frac{x}{R C} = 0$ , soit, avec $u = t / R C$ ( $x ˙ = x^{'} / R C$ , $x ¨ = x^{''} / (R C)^{2}$ ) : $x^{''} + (3 - f^{'} (x)) x^{'} + x = 0.$ Dans la zone linéaire, le coefficient vaut $3 - A < 0$ : amortissement négatif, l'amplitude croît. En saturation, il vaut $3 > 0$ : amortissement positif, l'énergie est dissipée. Sur une période, l'amplitude se fixe là où les deux effets se compensent en moyenne : c'est le « gain moyen égal à $3$ ».

2) Le schéma. Avec $v = x^{'}$ : $x_{n + 1} = x_{n} + h v_{n}$ , $v_{n + 1} = v_{n} - h [(3 - f^{'} (x_{n})) v_{n} + x_{n}]$ ; par exemple

x, v = 1e-4, 0.0
for n in range(N):
    fp = A if abs(A*x) < Vsat else 0.0
    x, v = x + h*v, v - h*((3 - fp)*v + x)

avec $h = 1 0^{- 2}$ (en unités de $R C$ , soit environ $600$ pas par période), et $s = min (V_{sat}, max (- V_{sat}, A x))$ pour la sortie.

3) Démarrage et choix de $A$ . Dans la zone linéaire, $2 λ = 3 - A$ en temps réduit : l'amplitude croît comme $e^{(A - 3) u /2}$ , soit $e^{0, 025 u}$ pour $A = 3, 05$ . Partie de $A x_{0} = 3 \times 1 0^{- 4} V$ , elle atteint $90 %$ de $14 V$ quand $0, 025 u = ln \frac{12 , 6}{3 , 05 \times 1 0 ^{- 4}} = 10, 6$ , soit $u \approx 425$ : l'accord avec les $427 R C$ simulés est excellent (la croissance est linéaire presque jusqu'à la fin). Avec $R C = 0, 16 ms$ ( $f_{0} = 1 kHz$ ), cela fait $68 ms$ ; avec $A = 4$ , $20$ fois plus vite. Le compromis est chiffré : $A = 3, 05$ démarre en une dizaine de centièmes de seconde et donne $2, 7 %$ de distorsion, sans dérive notable de la fréquence ; $A = 4$ démarre très vite mais donne un signal à $26 %$ de distorsion, de fréquence décalée de $13 %$ . Le bon réglage est légèrement au-dessus de $3$ , avec si possible un contrôle automatique de gain (exercice 3), qui évite toute saturation.

Ce que l'exercice installe. Simuler un oscillateur, c'est intégrer une équation non linéaire dont l'amortissement change de signe avec l'amplitude : le cycle limite apparaît de lui-même. La simulation chiffre le compromis démarrage-pureté, et le modèle linéaire prédit correctement le temps de montée.

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