électronique (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Wien stabilisé par une thermistance : l'amplitude qui se règle seule

Oscillateurs · B. Non-linéarités et spectres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un oscillateur à pont de Wien ( $A = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}$ , $R_{1} = 10 kΩ$ , $f_{0} = 1 kHz$ ), on remplace $R_{2}$ par une thermistance à coefficient de température négatif, chauffée par le courant qui la traverse. Sa résistance dépend de la valeur efficace $s_{eff}$ de la tension de sortie selon la loi (donnée de l'énoncé, valable en régime établi) $R_{2} (s_{eff}) = \frac{R _{20}}{1 + ( \frac{s _{eff}}{V _{0}} ) ^{2}}, R_{20} = 25 kΩ, V_{0} = 3, 0 V .$ La constante de temps thermique de la thermistance est de l'ordre de la seconde.

1) Vérifier que l'oscillateur démarre.

2) Déterminer la valeur efficace de la sortie en régime établi, et son amplitude crête. L'ALI ( $V_{sat} = 13 V$ ) sature-t-il ?

3) Montrer que cet équilibre est stable : que se passe-t-il si l'amplitude s'écarte un peu de sa valeur d'équilibre ?

4) Sans thermistance, avec $A = 3, 3$ fixe, l'amplitude est limitée par la saturation de l'ALI. Expliquer qualitativement pourquoi le signal est alors déformé, et pourquoi il ne l'est presque pas avec la thermistance. Un analyseur de spectre mesure, dans le cas sans thermistance, un fondamental de $5, 0 V$ efficaces et un harmonique de rang $3$ de $0, 40 V$ efficace (les autres négligeables) : calculer le taux de distorsion harmonique.

Corrigé

La stratégie. Démarrage : $A > 3$ à faible amplitude. Régime établi : l'amplitude se fixe là où le gain effectif vaut exactement la valeur de Barkhausen. Stabilité de cet équilibre : regarder le signe de la variation de $A$ quand l'amplitude augmente.

1) Démarrage. À faible amplitude, la thermistance est froide : $R_{2} = R_{20} = 25 kΩ$ , $A = 1 + 2, 5 = 3, 5 > 3$ : les oscillations démarrent.

2) L'amplitude d'équilibre. L'amplitude croît tant que $A > 3$ , la thermistance chauffe et sa résistance baisse ; l'équilibre est atteint pour $A = 3$ , soit $R_{2} = 2 R_{1} = 20 kΩ$ : $1 + (\frac{s _{eff}}{V _{0}})^{2} = \frac{R _{20}}{2 R _{1}} = 1, 25 ⟹ s_{eff} = V_{0} 0, 25 = 1, 5 V,$ d'amplitude crête $1, 52 = 2, 1 V$ , loin de $13 V$ : l'ALI ne sature jamais, il reste en régime linéaire.

3) Stabilité de l'équilibre. Si l'amplitude dépasse $1, 5 V$ efficaces, la thermistance chauffe davantage, $R_{2} < 20 kΩ$ , $A < 3$ : le coefficient d'amortissement devient positif, l'amplitude décroît. Si elle est inférieure, $A > 3$ et elle croît. Dans les deux cas elle revient vers l'équilibre : c'est une boucle de régulation de l'amplitude (contrôle automatique de gain). La condition de stabilité est que $A$ soit une fonction décroissante de l'amplitude au point d'équilibre.

4) Pourquoi la thermistance ne déforme pas. Sans elle, avec $A = 3, 3$ , l'amplitude croît jusqu'à ce que l'ALI sature sur les crêtes ; pendant une période, le gain vaut $3, 3$ hors des crêtes et $0$ (en variation) sur les crêtes : la non-linéarité agit à l'intérieur de chaque période, elle aplatit les sommets et crée des harmoniques impairs. Le gain moyen retombe à $3$ , ce qui fixe l'amplitude, mais au prix d'une déformation. La thermistance, elle, réagit en une seconde, mille fois plus lentement que la période : sa résistance est constante sur une période, le gain y est rigoureusement linéaire et le signal reste sinusoïdal. Le taux de distorsion mesuré sans thermistance vaut $THD = \frac{0 , 40}{5 , 0} = 8, 0 %,$ un signal nettement déformé. Historique : le premier oscillateur à pont de Wien du commerce (1939) utilisait de la même manière une petite lampe à incandescence, dont la résistance croît en chauffant, placée en $R_{1}$ .

Ce que l'exercice installe. L'amplitude d'un oscillateur est fixée par une non-linéarité qui ramène le gain effectif à la valeur de Barkhausen ; l'équilibre est stable si le gain décroît avec l'amplitude. Une non-linéarité instantanée (saturation) déforme ; une non-linéarité lente (thermique) règle l'amplitude sans déformer.

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