Le hasard, le grand nombre et la loi

from random import random

def survivants(n_noyaux, n_demi_vies):
    noyaux = n_noyaux
    for _ in range(n_demi_vies):
        restants = 0
        for _ in range(noyaux):
            if random() > 0.5:      # le noyau survit a cette demi-vie
                restants += 1
        noyaux = restants
    return noyaux

for n in [10, 1000, 1000000]:
    print(n, "->", survivants(n, 3), " theorie :", n / 8)

1. Trois épreuves identiques et indépendantes, chacune de probabilité de survie $0,5$. La probabilité de survivre aux trois vaut $$0,5\times 0,5\times 0,5=0,5^3=0,125,$$ soit $12,5\%$. Un arbre à trois niveaux le montre : sur les huit chemins possibles, un seul correspond à trois survies.

2. $0,5$. C'est tout l'intérêt de la question : le noyau n'a pas de mémoire. Avoir survécu longtemps ne le rend ni plus fragile ni plus robuste. Les évènements « survivre à la troisième demi-vie » et « survivre à la quatrième » sont indépendants.

3. Sur $1000$ noyaux, on en attend $1000\times 0,125=125$. Sur $10$ noyaux, on en attend $10\times 0,125=1,25$ — mais ce nombre n'est même pas entier, et le résultat réel sera $0$, $1$, $2$ ou $3$ selon les tirages. Sur un si petit échantillon, la « loi » de décroissance ne se voit pas : elle n'a de sens que pour un très grand nombre de noyaux, ce que rappelle le mot macroscopique dans la définition de la demi-vie.

4. Le programme tire au sort chaque noyau, un par un, et ne connaît pas la formule $N_0\times 0,5^n$. Pourtant, plus l'échantillon est grand, plus le résultat s'en approche : pour $10$ noyaux l'écart relatif est énorme, pour un million il tombe à quelques dixièmes de pour cent. C'est une illustration numérique de la loi des grands nombres. La leçon dépasse la radioactivité : une loi déterministe peut émerger d'un mécanisme purement aléatoire, pourvu qu'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. <br> $\leftrightarrow$ Phénomènes aléatoires : répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, arbre de probabilités, indépendance de deux évènements.