Combien de temps peut-on écouter ?

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 13 — Entendre et protéger son audition

Énoncé

On prend pour repère $85$ dB pendant $8$ heures. 1. Calculer la durée maximale pour $88$ , $91$ , $94$ , $100$ et $103$ dB. 2. Établir la formule générale $t_{m a x} (L)$ . 3. Quel niveau correspond à une durée maximale de $5$ minutes ? 4. Un élève dit : « à $100$ dB je peux tenir deux heures, c'est juste un peu plus fort qu'à $94$ dB où je peux tenir une heure ». Que répondre ?

Corrigé

1. On divise par $2$ à chaque paquet de $3$ dB : $88 \to 4 h, 91 \to 2 h, 94 \to 1 h, 100 \to 15 min, 103 \to 7, 5 min .$ De $94$ à $100$ dB il y a deux paquets de $3$ dB, donc une division par $4$ : $60/4 = 15$ minutes.

2. $t_{m a x} (L) = 8 \times 0, 5^{(L - 85) /3}$ heures. C'est une fonction exponentielle décroissante de $L$ : sur une échelle logarithmique des durées, sa représentation est une droite — celle de la figure.

3. On cherche $L$ tel que $t_{m a x} = 5$ min $= 1/12$ h. Or $8/ 2^{n} = 1/12$ donne $2^{n} = 96$ , et $2^{6} = 64$ , $2^{7} = 128$ : $n$ est entre $6$ et $7$ , plus près de $7$ . En testant, $L = 85 + 3 \times 6, 6 \approx 105$ dB. Un contrôle : à $103$ dB on avait $7, 5$ min, à $106$ dB on a $3, 75$ min ; $5$ minutes tombe bien entre les deux.

4. La phrase inverse la réalité. « Un peu plus fort » de $6$ dB signifie une intensité quadruplée ; la durée admissible n'est pas allongée, elle est divisée par quatre. L'erreur vient de la lecture intuitive de l'échelle des décibels, où de petits écarts de nombres cachent d'énormes écarts d'énergie.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.