Avec ou sans remise

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 16 — Phénomènes aléatoires

Énoncé

Une urne contient 10 jetons : 4 rouges et 6 bleus. On en tire deux successivement.

Avec remise. Probabilité d'obtenir deux rouges ? Les deux tirages sont-ils indépendants ?
Sans remise. Probabilité d'obtenir deux rouges ?
Sans remise. Les deux tirages sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.
Dans quel cas peut-on parler de répétition d'épreuves de Bernoulli ?

Corrigé

1. Avec remise, la composition de l'urne est inchangée : $P = 0, 4 \times 0, 4 = 0, 16$ . Les tirages sont indépendants par construction.

2. Sans remise, il ne reste que 9 jetons dont 3 rouges après un premier tirage rouge :

$P = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0, 133.$

3. Notons $R_{1}$ et $R_{2}$ les évènements « rouge au premier (resp. second) tirage ». On a $P (R_{1}) = 0, 4$ et $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{9} \approx 0, 333$ . Or on montre que $P (R_{2}) = 0, 4$ également (les deux chemins menant à un rouge au second tirage donnent $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = 0, 4$ ). Comme $P_{R_{1}} (R_{2}) \approx 0, 333 \neq = P (R_{2}) = 0, 4$ , les deux tirages ne sont pas indépendants.

4. Seulement dans le cas avec remise : c'est là, et là seulement, que les épreuves sont identiques et indépendantes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.