Deux composants d'un appareil

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 16 — Phénomènes aléatoires

Énoncé

Un appareil comporte deux composants, dont les défaillances sont indépendantes. Le premier tombe en panne dans l'année avec une probabilité de 0,05, le second avec une probabilité de 0,08.

Probabilité que les deux tombent en panne dans l'année ?
Probabilité qu'aucun ne tombe en panne ?
L'appareil fonctionne tant que les deux composants fonctionnent. Probabilité qu'il tombe en panne dans l'année ?
On ajoute un troisième composant, de probabilité de panne 0,03, indépendant des deux autres. Que devient la probabilité de panne de l'appareil ?

Corrigé

1. L'indépendance autorise le produit : $0, 05 \times 0, 08 = 0, 004$ , soit 0,4 %.

2. $0, 95 \times 0, 92 = 0, 874$ .

3. L'appareil tombe en panne si au moins un composant lâche : c'est l'évènement contraire du précédent, de probabilité $1 - 0, 874 = 0, 126$ , soit 12,6 %. Notez qu'il ne faut surtout pas additionner $0, 05 + 0, 08 = 0, 13$ : cela compterait deux fois le cas où les deux tombent en panne.

4. $1 - 0, 95 \times 0, 92 \times 0, 97 = 1 - 0, 84778 \approx 0, 152$ . Plus un système comporte de composants montés en série, plus il est fragile, même si chacun d'eux est très fiable : les probabilités de bon fonctionnement se multiplient, et un produit de nombres inférieurs à 1 diminue.

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