Le problème des partis (Pascal et Fermat, 1654)

1. Anne a 4 manches, il lui en manque 1. Bruno en a 2, il lui en manque 3.

2. Après quatre manches supplémentaires, l'un des deux a nécessairement atteint son objectif : si Anne n'a gagné aucune de ces quatre manches, c'est que Bruno les a toutes gagnées, et il lui en fallait trois. Quatre manches suffisent donc toujours — et l'on est bien dans la limite des arbres à quatre niveaux.

3. On imagine que les quatre manches sont jouées jusqu'au bout, même après que le sort en est jeté : cela ne change rien au vainqueur et rend le compte plus simple. L'arbre a $2^4=16$ chemins, tous de probabilité $\frac{1}{16}$. Bruno ne l'emporte que s'il gagne au moins trois de ces quatre manches : les chemins correspondants sont au nombre de $4+1=5$ (quatre chemins à exactement trois victoires, un à quatre victoires). Donc

$$P(\text{Bruno gagne})=\frac{5}{16},P(\text{Anne gagne})=1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}.$$

4. Anne reçoit $64\times \frac{11}{16}=44$ pistoles, Bruno $64\times \frac{5}{16}=20$ pistoles. C'est la réponse de Pascal et Fermat.

5. Un partage de 4 contre 2 donnerait $\frac{4}{6}\times 64\approx 43$ contre 21 : c'est proche, mais faux. Le partage juste ne dépend pas du chemin déjà parcouru, seulement de ce qu'il reste à parcourir. Un joueur à qui il ne manque qu'une manche est presque gagnant, quel que soit le score par lequel il y est arrivé : c'est ce que le rapport 11 contre 5 exprime, et non le rapport 4 contre 2.