Croissance puis décroissance d'une population

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

Sur une île, une population d'oiseaux introduite artificiellement est modélisée, sur une période de douze années, par

$N (t) = - 30 t^{2} + 360 t + 200,$

où $t$ est le nombre d'années écoulées et $N$ le nombre d'individus.

Quelle était la population initiale ?
Résoudre $N (t) = 200$ et en déduire l'axe de symétrie.
En quelle année la population est-elle maximale, et combien vaut ce maximum ?
Dresser le tableau de variations sur $[0; 12]$ .
En quelle année la population retombe-t-elle à son niveau initial ?
Ce modèle a-t-il un sens pour $t = 15$ ?

Corrigé

1. $N (0) = 200$ oiseaux.

2. $- 30 t^{2} + 360 t + 200 = 200 ⟺ - 30 t^{2} + 360 t = 0 ⟺ - 30 t (t - 12) = 0$ , donc $t = 0$ ou $t = 12$ . L'axe de symétrie est $t = \frac{0 + 12}{2} = 6$ .

3. $N (6) = - 30 \times 36 + 2160 + 200 = - 1080 + 2360 = 1280$ oiseaux. Comme $a = - 30 < 0$ , c'est un maximum : la population culmine à 1 280 individus la sixième année.

$t$		6		12
		1 280
$N (t)$	$↗$		$↘$
200				200

5. La question 2 y a déjà répondu : $N (12) = 200$ . La population retrouve son niveau initial au bout de douze ans, et la symétrie de la parabole le rendait prévisible.

6. $N (15) = - 30 \times 225 + 5400 + 200 = - 6750 + 5600 = - 1150$ : un effectif négatif n'a aucun sens. Le modèle est explicitement donné pour une période de douze ans, et il faut s'y tenir. Comme le rappelait le chapitre sur la variation linéaire, une formule ne connaît pas son propre domaine de validité — c'est à vous de le porter.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.