L'axe de symétrie sans discriminant

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

Soit $g (x) = 2 x^{2} - 12 x + 25$ .

Calculer $g (0)$ .
Résoudre l'équation $g (x) = 25$ .
En déduire l'axe de symétrie, puis les coordonnées du sommet.
Dresser le tableau de variations.
La parabole coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Justifier sans calculer de racine.
Résoudre $g (x) = 33$ .

Corrigé

1. $g (0) = 25$ .

2. $2 x^{2} - 12 x + 25 = 25 ⟺ 2 x^{2} - 12 x = 0 ⟺ 2 x (x - 6) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 6$ .

3. Les points $(0; 25)$ et $(6; 25)$ ont la même ordonnée : l'axe est $x = \frac{0 + 6}{2} = 3$ . Puis $g (3) = 18 - 36 + 25 = 7$ . Le sommet est $(3; 7)$ .

4. Comme $a = 2 > 0$ :

$x$		3

$g (x)$	$↘$		$↗$
		7

5. Le minimum de $g$ vaut 7, donc $g (x) ⩾ 7 > 0$ pour tout $x$ : la courbe reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses, qu'elle ne coupe jamais. $g$ n'a aucune racine, et le tableau de variations suffit à l'affirmer.

6. $2 x^{2} - 12 x + 25 = 33 ⟺ 2 x^{2} - 12 x - 8 = 0 ⟺ 2 (x^{2} - 6 x - 4) = 0$ . Cette équation ne se factorise pas simplement ; elle sort donc du programme. En revanche, on sait déjà que ses deux solutions éventuelles seraient symétriques par rapport à $x = 3$ : leur somme vaudrait

Graphiquement, on lirait environ $x \approx - 0, 6$ et $x \approx 6, 6$ .

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