Le rectangle de périmètre fixé — exercice corrigé d'enseignement scientifique (première) (chapitre 18)

Le rectangle de périmètre fixé

Modélisation quadratique · niveau 2

Énoncé

On dispose de 40 mètres de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un côté, en mètres.

Exprimer l'autre côté en fonction de $x$ , et préciser les valeurs possibles de $x$ .
Exprimer l'aire $A (x)$ de l'enclos, et reconnaître sa nature.
Déterminer les racines de $A$ et interpréter.
Déterminer les dimensions qui rendent l'aire maximale, et calculer cette aire.
Peut-on obtenir une aire de 120 m² ? de 90 m² ?

Corrigé

1. Le périmètre vaut $2 \times (longueur + largeur) = 40$ , donc longueur + largeur $= 20$ : l'autre côté mesure $20 - x$ . Pour que les deux côtés soient strictement positifs, il faut $0 < x < 20$ .

2. $A (x) = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x$ : c'est une fonction polynôme de degré 2, déjà factorisée, avec $a = - 1$ .

3. $x (20 - x) = 0$ donne $x = 0$ ou $x = 20$ . Ce sont les cas dégénérés où le rectangle est aplati : l'aire est nulle. Ils sont exclus du domaine.

4. L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $x = \frac{0 + 20}{2} = 10$ . L'aire maximale vaut $A (10) = 10 \times 10 = 100$ m². Comme $a = - 1 < 0$ , c'est bien un maximum. Le rectangle de périmètre donné qui a la plus grande aire est le carré — un résultat classique, obtenu ici en trois lignes.

5. Une aire de 120 m² est impossible : le maximum est 100 m². Pour 90 m², on résout $- x^{2} + 20 x = 90$ , soit $x^{2} - 20 x + 90 = 0$ , qui ne se factorise pas simplement ; on lit graphiquement deux solutions, symétriques par rapport à 10, environ $x \approx 6, 8$ et $x \approx 13, 2$ . Les deux décrivent d'ailleurs le même rectangle, vu dans l'autre sens.