Lecture graphique d'une parabole

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

Une parabole passe par les points $(- 2; 0)$ et $(6; 0)$ , et son sommet a pour ordonnée $- 8$ .

Déterminer l'abscisse du sommet.
La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
Écrire $f (x)$ sous la forme $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , puis déterminer $a$ .
Développer $f$ .
Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'inéquation $f (x) < 0$ .
Que vaut $f (8)$ ?

Corrigé

1. L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $x = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ .

2. Le sommet est en dessous de l'axe des abscisses ( $- 8 < 0$ ) alors que la courbe coupe cet axe en deux points : elle remonte donc de part et d'autre, la parabole est tournée vers le haut et $a > 0$ .

3. $f (x) = a (x + 2) (x - 6)$ . On utilise le sommet : $f (2) = a \times 4 \times (- 4) = - 16 a$ , et cela doit valoir $- 8$ . Donc $- 16 a = - 8$ , soit $a = 0, 5$ . Finalement $f (x) = 0, 5 (x + 2) (x - 6)$ .

4. $f (x) = 0, 5 (x^{2} - 4 x - 12) = 0, 5 x^{2} - 2 x - 6$ . Vérification : $f (0) = - 6$ , et sur la forme factorisée $0, 5 \times 2 \times (- 6) = - 6$ . ✓

5. Graphiquement, la courbe est sous l'axe entre les racines : $- 2 < x < 6$ . Par le calcul, $a = 0, 5 > 0$ donc $f$ est du signe de $a$ sauf entre les racines : même conclusion.

6. $f (8) = 0, 5 \times 10 \times 2 = 10$ . On pouvait aussi utiliser la symétrie : 8 et $- 4$ sont symétriques par rapport à 2, donc $f (8) = f (- 4) = 0, 5 \times (- 2) \times (- 10) = 10$ .

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