Une arche de pont

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

L'arche d'un viaduc est modélisée par une parabole. Elle repose au sol en deux points distants de 60 mètres, et sa hauteur maximale, au milieu, est de 15 mètres. On place l'origine du repère au pied gauche de l'arche.

Quelles sont les racines de la fonction $h$ qui donne la hauteur ?
Écrire $h (x)$ sous forme factorisée, puis déterminer $a$ .
Quelle est la hauteur de l'arche à 10 mètres du pied gauche ?
Un camion de 4 mètres de haut et 3 mètres de large doit passer en longeant le bord gauche. Passe-t-il si son flanc gauche est à 5 mètres du pied ?
Sur quelle largeur, au centre, l'arche offre-t-elle plus de 12 mètres de hauteur ? (On donnera une réponse approchée par lecture graphique.)

Corrigé

1. L'arche touche le sol en $x = 0$ et $x = 60$ : ce sont les racines.

2. $h (x) = a x (x - 60)$ . Le sommet est au milieu, $x = 30$ , et vaut 15 : $h (30) = a \times 30 \times (- 30) = - 900 a = 15$ , donc $a = - \frac{1}{60} \approx - 0, 0167$ . Ainsi $h (x) = - \frac{1}{60} x (x - 60)$ .

3. $h (10) = - \frac{1}{60} \times 10 \times (- 50) = \frac{500}{60} \approx 8, 33$ mètres.

4. Le point le plus contraignant est le coin le plus à gauche du camion, à $x = 5$ : $h (5) = - \frac{1}{60} \times 5 \times (- 55) = \frac{275}{60} \approx 4, 58$ mètres. C'est supérieur à 4 mètres, donc le camion passe — mais avec seulement 58 centimètres de marge, et à condition de rester exactement dans ce couloir. Le coin droit, à $x = 8$ , est encore plus haut : $h (8) \approx 6, 93$ m.

5. On cherche $h (x) > 12$ . Par symétrie, l'intervalle solution est centré en $x = 30$ . La lecture graphique donne approximativement $x \in [13, 5; 46, 5]$ , soit une largeur d'environ 33 mètres. On peut vérifier : $h (13, 5) = - \frac{1}{60} \times 13, 5 \times (- 46, 5) \approx 10, 46$ — un peu trop bas. En affinant, $h (16) = - \frac{1}{60} \times 16 \times (- 44) \approx 11, 73$ et $h (17) \approx 12, 18$ : la largeur cherchée vaut donc environ 26 mètres, entre $x \approx 17$ et $x \approx 43$ . Cet exercice illustre bien que, sans discriminant, on approche — et qu'il faut alors vérifier ses lectures par le calcul.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.