Vérifier une modélisation au tableur

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

On dispose des relevés de la hauteur d'un ballon, mesurée tous les mètres de distance horizontale.

$x$ (m)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$h$ (m)	2,00	3,05	3,80	4,25	4,40	4,25	3,80	3,05	2,00

Repérer la symétrie du tableau et en déduire l'axe de symétrie.
En déduire le sommet.
Calculer les différences puis les différences secondes. Que valent-elles ?
Vérifier que le modèle $h (x) = - 0, 15 x^{2} + 1, 2 x + 2$ redonne bien ces valeurs pour $x = 1$ et $x = 5$ .
En B2 du tableur sont saisies les valeurs de $x$ et en C2 celles de $h$ . Quelle formule saisir en D2 pour calculer les valeurs prédites par le modèle, et comment vérifier l'accord ?

Corrigé

1. Les valeurs se lisent à l'identique dans les deux sens : $h (0) = h (8)$ , $h (1) = h (7)$ , $h (2) = h (6)$ , $h (3) = h (5)$ . Les couples symétriques ont pour milieu $\frac{0 + 8}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ : l'axe de symétrie est $x = 4$ .

2. Le sommet est donc le point $(4; 4, 40)$ , et comme les valeurs montent puis descendent, c'est un maximum.

3. Différences : $1, 05$ ; $0, 75$ ; $0, 45$ ; $0, 15$ ; $- 0, 15$ ; $- 0, 45$ ; $- 0, 75$ ; $- 1, 05$ . Différences secondes : toutes égales à $- 0, 30$ . Constantes : le modèle quadratique est confirmé. On remarque que $- 0, 30 = 2 \times (- 0, 15) = 2 a$ — la différence seconde vaut toujours le double du coefficient $a$ lorsque le pas vaut 1.

4. $h (1) = - 0, 15 + 1, 2 + 2 = 3, 05$ ✓ ; $h (5) = - 0, 15 \times 25 + 6 + 2 = - 3, 75 + 8 = 4, 25$ ✓.

5. En D2 : =-0,15<em>B2\^{2+1,2B2+2}, puis recopie vers le bas. Pour vérifier l'accord, on saisit en E2 la formule =C2-D2 : la colonne des écarts doit être nulle partout, aux arrondis près. C'est la même démarche que celle des résidus rencontrée au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée — sauf qu'ici le modèle n'est pas ajusté sur les données, il est vérifié par elles.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.