Élimination d'un médicament

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

Un patient reçoit 600 mg d'un médicament dont la quantité présente dans le sang diminue de 25 % par heure.

Donner la raison de la suite $u (n)$ des quantités heure par heure, puis son expression explicite.
Calculer la quantité restante après 3 heures, puis après 8 heures.
Le médicament n'est plus actif en dessous de 50 mg. Au bout de combien d'heures cesse-t-il d'agir ?
Quelle est, approximativement, la demi-vie de ce médicament ?
Le patient reprend une dose de 600 mg toutes les 6 heures. Quelle quantité a-t-il dans le sang juste après la deuxième prise ?

Corrigé

1. Diminuer de 25 % revient à multiplier par $1 - 0, 25 = 0, 75$ : la raison est $q = 0, 75$ , et $u (n) = 600 \times 0, 7 5^{n}$ .

2. $u (3) = 600 \times 0, 421875 \approx 253$ mg ; $u (8) = 600 \times 0, 7 5^{8} \approx 600 \times 0, 1001 = 60, 1$ mg.

3. On poursuit : $u (9) \approx 45, 1$ mg. Comme $u (8) \approx 60 > 50$ et $u (9) \approx 45 < 50$ , le médicament cesse d'agir au bout de 9 heures.

4. Il faut que $0, 7 5^{n}$ vaille 0,5. Essais : $0, 7 5^{2} = 0, 5625$ ; $0, 7 5^{3} = 0, 4219$ . La demi-vie est donc comprise entre 2 et 3 heures, plus près de 2,4 heures : en effet $0, 7 5^{2, 4} \approx 0, 5033$ . On retiendra environ 2 h 25.

5. Après 6 heures il reste $u (6) = 600 \times 0, 7 5^{6} \approx 600 \times 0, 178 = 106, 8$ mg. La nouvelle prise porte le total à environ 707 mg. C'est le principe de l'accumulation : les doses répétées ne repartent pas de zéro, et c'est pourquoi la posologie d'un médicament ne s'invente pas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.