Le début d'une épidémie

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

Au début d'une épidémie, chaque personne contaminée en contamine en moyenne 1,8 autres, en cinq jours. On part de 40 cas.

Exprimer le nombre $u (n)$ de nouveaux cas à la $n$ -ième génération, une génération valant cinq jours.
Combien de nouveaux cas à la cinquième génération ? Au bout de combien de jours ?
Au bout de combien de générations dépasse-t-on 10 000 nouveaux cas ?
Des mesures sanitaires ramènent le taux de reproduction à 0,8. Que devient la suite, et que vaut $u (5)$ à partir de 10 000 cas ?
Pourquoi ce modèle cesse-t-il d'être valable au bout d'un certain temps ?

Corrigé

1. $u (n) = 40 \times 1, 8^{n}$ .

2. $u (5) = 40 \times 1, 8^{5} = 40 \times 18, 896 \approx 756$ cas, soit $5 \times 5 = 25$ jours après le début.

3. Essais : $u (8) = 40 \times 1, 8^{8} \approx 40 \times 110, 2 = 4408$ ; $u (9) \approx 7934$ ; $u (10) \approx 14281$ . Le seuil est dépassé à la dixième génération, soit au bout de 50 jours. On mesure ici la brutalité de l'emballement : il a fallu 25 jours pour passer de 40 à 756, et 25 jours de plus pour passer de 756 à 14 000.

4. La suite devient géométrique de raison 0,8, donc décroissante : $u (n) = 10000 \times 0, 8^{n}$ , et $u (5) = 10000 \times 0, 32768 \approx 3277$ cas. Franchir le seuil de 1 dans un sens ou dans l'autre change tout : c'est la même formule, avec un exposant qui travaille pour ou contre.

5. Parce que le nombre de personnes contaminables n'est pas infini. À mesure que l'épidémie progresse, une personne contaminée rencontre de plus en plus de personnes déjà immunisées : le taux de reproduction effectif diminue, la courbe s'infléchit, et le modèle exponentiel — valable au démarrage — devient franchement faux. Comme le rappelait la figure de la cascade, un modèle exponentiel de croissance ne peut pas rester vrai dans un monde fini.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.