Le triangle de Sierpinski

On part d'un triangle équilatéral d'aire 1. À chaque étape, on retire de chaque triangle plein le triangle central formé par les milieux de ses côtés — il en reste donc trois fois plus, quatre fois plus petits.

• Combien de triangles pleins compte-t-on aux étapes 0, 1, 2 et 3 ?
• Exprimer $t(n)$, le nombre de triangles à l'étape $n$, et donner sa nature.
• Quelle est l'aire d'un petit triangle à l'étape $n$ ?
• En déduire l'aire totale $A(n)$ de la figure. Quelle est sa nature ?
• Calculer $A(10)$ et $A(20)$. Que devient l'aire quand $n$ grandit ?