Le triangle de Sierpinski

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

On part d'un triangle équilatéral d'aire 1. À chaque étape, on retire de chaque triangle plein le triangle central formé par les milieux de ses côtés — il en reste donc trois fois plus, quatre fois plus petits.

Combien de triangles pleins compte-t-on aux étapes 0, 1, 2 et 3 ?
Exprimer $t (n)$ , le nombre de triangles à l'étape $n$ , et donner sa nature.
Quelle est l'aire d'un petit triangle à l'étape $n$ ?
En déduire l'aire totale $A (n)$ de la figure. Quelle est sa nature ?
Calculer $A (10)$ et $A (20)$ . Que devient l'aire quand $n$ grandit ?

Corrigé

1. 1 ; 3 ; 9 ; 27.

2. $t (n) = 3^{n}$ : suite géométrique de raison 3.

3. À chaque étape, un triangle est remplacé par des triangles dont les côtés sont deux fois plus petits, donc d'aire quatre fois plus petite. L'aire d'un petit triangle vaut $(\frac{1}{4})^{n} = \frac{1}{4 ^{n}}$ .

4. $A (n) = 3^{n} \times \frac{1}{4 ^{n}} = (\frac{3}{4})^{n}$ : suite géométrique de raison $\frac{3}{4} = 0, 75$ , donc décroissante.

5. $A (10) = 0, 7 5^{10} \approx 0, 0563$ , soit 5,6 % de l'aire de départ ; $A (20) = 0, 7 5^{20} \approx 0, 0032$ , soit 0,32 %. L'aire tend vers 0 sans jamais l'atteindre : la figure limite est une sorte de dentelle d'aire nulle, mais formée d'une infinité de triangles. Cet objet, décrit par le mathématicien polonais Wacław Sierpiński en 1915, est l'un des exemples les plus célèbres de figure fractale — et il est entièrement fabriqué avec deux suites géométriques.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.