Les trois modèles face à face

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

Trois placements de 1 000 € sont proposés, sur $n$ années :

$A (n) = 1000 + 120 n, B (n) = 1000 + 8 n^{2}, C (n) = 1000 \times 1, 0 9^{n} .$

Identifier le modèle de chacun.
Compléter mentalement, pour $n = 5$ , $n = 10$ et $n = 20$ .
Quel placement est le meilleur à 5 ans ? à 10 ans ? à 20 ans ?
Le placement $C$ finit-il toujours par l'emporter ? Justifier.
Rédiger en une phrase le conseil que vous donneriez à quelqu'un qui hésite.

Corrigé

1. $A$ : linéaire (suite arithmétique de raison 120). $B$ : quadratique. $C$ : exponentiel (suite géométrique de raison 1,09).

	$n = 5$	$n = 10$	$n = 20$
$A$ (linéaire)	1 600	2 200	3 400
$B$ (quadratique)	1 200	1 800	4 200
$C$ (exponentiel)	1 539	2 367	5 604

3. À 5 ans, $A$ l'emporte (1 600). À 10 ans, $C$ est déjà devant (2 367). À 20 ans, $C$ écrase les deux autres (5 604 contre 4 200 et 3 400).

4. Oui. Quelles que soient les constantes choisies, une suite géométrique de raison strictement supérieure à 1 finit par dépasser définitivement toute croissance linéaire et toute croissance quadratique. Le seul choix qui reste est quand : ici, il a fallu entre 6 et 7 ans pour que $C$ dépasse $A$ , et 13 ans pour dépasser $B$ .

5. « Sur quelques années, le placement à taux fixe le plus généreux gagne ; sur une longue durée, c'est celui dont les intérêts se réinvestissent. La vraie question n'est pas lequel rapporte le plus, mais pendant combien de temps vous placez. »

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.