Jusqu'où voit-on ?

1. La visée de l'observateur est tangente à la sphère au point d'horizon $H$ ; le rayon $OH$ est perpendiculaire à la tangente en $H$. Le triangle $OHM$ est donc rectangle en $H$, avec $OH=R$, $OM=R+h$ et $MH=d$. Pythagore donne $d^2+R^2=(R+h{)}^2$, d'où $d^2=2Rh+h^2=h(2R+h)$ et $d=\sqrt{h(2R+h)}$.

2. Avec $R=6371000$ m et $2R=1,2742\times 10^7$ m : $$h=1,7:d\approx \sqrt{2,166\times 10^7}\approx 4650\text{ m}=4,7\text{ km,}$$ $$h=100:d\approx \sqrt{1,2742\times 10^9}\approx 35700\text{ m}=35,7\text{ km,}$$ $$h=300:d\approx \sqrt{3,823\times 10^9}\approx 61800\text{ m}=61,8\text{ km.}$$

3. $h=10000$ m : $d\approx \sqrt{1,2752\times 10^{11}}\approx 357$ km. C'est pourquoi, d'un hublot, on distingue par temps clair des côtes très lointaines.

4. $35,7$ km contre $50,5$ km : la portée n'a pas doublé, elle a été multipliée par $1,41$. Algébriquement, tant que $h\ll R$, on a $d\approx \sqrt{2Rh}$ : $d$ est proportionnelle à $\sqrt{h}$, et non à $h$. Multiplier $h$ par $4$ multiplie $d$ par $2$ seulement. C'est la raison pour laquelle on ne gagne pas grand-chose à surélever un phare.

5. Il faut sommer les deux portées : l'horizon de l'observateur ($35,7$ km) et l'horizon du sommet ($\sqrt{2\times 6371000\times 2000}\approx 159,6$ km). Le total, $195$ km, est inférieur aux $200$ km qui séparent les deux points : en géométrie pure, le sommet reste juste sous l'horizon. En pratique, la réfraction atmosphérique courbe légèrement les rayons lumineux vers le bas et augmente la portée d'environ $8\%$ : la montagne serait sans doute visible par très beau temps. Cet effet, appelé réfraction terrestre, est systématiquement pris en compte par les géodésiens.