Le mètre, de la Terre à la lumière

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 8 — La forme de la Terre

Énoncé

1. Le mètre a été défini en $1799$ comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Quelle longueur de méridien cette définition suppose-t-elle ? 2. On sait aujourd'hui que le quart du méridien mesure $10002$ km. De combien le mètre des Archives est-il trop court ? Donner l'écart relatif, puis l'écart en millimètres sur un mètre. 3. Quelle erreur cela représente-t-il sur une distance de $100$ km ? 4. La définition actuelle pose $c = 299792458$ m $\cdot$ s $^{- 1}$ exactement. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une nanoseconde ( $1 0^{- 9}$ s) ? 5. Pourquoi a-t-on abandonné la définition terrestre ?

Corrigé

1. Si le quart vaut $1 0^{7}$ mètres, le méridien entier vaut $4 \times 1 0^{7}$ m $= 40000$ km exactement. C'est là l'origine du nombre $40000$ que tout le monde retient : il n'est pas une coïncidence, c'est une définition.

2. L'écart relatif vaut $\frac{10 002 - 10 000}{10 002} \approx 2, 0 \times 1 0^{- 4},$ soit $0, 020 %$ . Sur un mètre, cela fait $0, 20$ mm : le mètre des Archives est trop court de deux dixièmes de millimètre.

3. $100$ km $\times 2, 0 \times 1 0^{- 4} = 20$ m. L'erreur, négligeable sur une table, atteint vingt mètres sur cent kilomètres. Toute erreur relative se paie à proportion de l'échelle.

4. $299792458 \times 1 0^{- 9} \approx 0, 2998$ m, soit environ $30$ cm. Une nanoseconde de lumière fait un pied : c'est un repère que les ingénieurs en électronique connaissent bien, car il fixe la taille au-delà de laquelle un circuit ne peut plus être considéré comme instantané.

5. Parce qu'une définition doit être reproductible. Refaire la mesure d'un méridien demande des années, coûte cher, et donne un résultat qui dépend du méridien choisi — la Terre n'étant pas une sphère parfaite. La vitesse de la lumière, elle, est la même partout et pour tous ; n'importe quel laboratoire correctement équipé peut réaliser le mètre à partir d'une horloge. On a échangé une définition prestigieuse contre une définition utilisable.

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