Paris–Vancouver : deux itinéraires

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 8 — La forme de la Terre

Énoncé

Paris est à $48, 8 5^{\circ}$ N, $2, 3 5^{\circ}$ E ; Vancouver à $49, 2 5^{\circ}$ N, $123, 1 0^{\circ}$ O. Un logiciel de cartographie donne $7924$ km pour le trajet direct et $9142$ km pour le trajet suivant le parallèle. 1. Calculer la différence de longitude entre les deux villes. 2. Vérifier par le calcul la longueur du trajet le long du parallèle, en prenant la latitude moyenne $49, 0 5^{\circ}$ et $R = 6371$ km. 3. Calculer l'écart entre les deux itinéraires, en kilomètres et en pourcentage. 4. Sur la carte du chapitre, le trajet le plus court paraît le plus long. Expliquer. 5. À $850$ km $\cdot$ h $^{- 1}$ , combien de temps gagne-t-on en choisissant l'orthodromie ?

Corrigé

1. $Δ λ = 2, 35 + 123, 10 = 125, 4 5^{\circ}$ (les deux villes sont de part et d'autre du méridien de Greenwich : les longitudes s'ajoutent).

2. Le parallèle de latitude $φ$ est un cercle de rayon $R cos φ$ . Sa longueur totale est $2 π R cos φ$ , et la portion correspondant à $Δ λ$ vaut $2 π \times 6371 \times cos (49, 0 5^{\circ}) \times \frac{125 , 45}{360} = 2 π \times 6371 \times 0, 6555 \times 0, 3485 \approx 9140 km.$ Le calcul confirme la valeur du logiciel.

3. $9142 - 7924 = 1218$ km, soit $1 218/9 142 \approx 13, 3 %$ du trajet le plus long.

4. Parce qu'une sphère ne se déplie pas sur un plan sans déformation : c'est un résultat mathématique, pas une imperfection des cartographes. La projection utilisée ici étire fortement les hautes latitudes ; un arc qui monte vers le nord y paraît donc beaucoup plus long qu'il ne l'est. Sur un globe, la comparaison est immédiate : il suffit de tendre un fil entre les deux villes, il passe naturellement par le nord.

5. $1 218/850 \approx 1, 43$ h, soit environ une heure et demie. Sur un trajet effectué plusieurs fois par jour, l'économie de carburant et d'émissions est considérable : c'est une raison très concrète pour laquelle les compagnies aériennes calculent leurs routes sur une sphère, et non sur une carte.

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