Refaire le calcul d'Ératosthène

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 8 — La forme de la Terre

Énoncé

Le jour du solstice d'été, à midi, le Soleil est au zénith à Syène. Au même instant, à Alexandrie, un gnomon vertical fait avec les rayons du Soleil un angle de $7, 2^{\circ}$ . La distance Alexandrie–Syène est estimée à $5000$ stades. 1. Justifier que $7, 2^{\circ}$ est aussi l'angle au centre de la Terre entre les deux villes. 2. Calculer la circonférence terrestre en stades. 3. La convertir en kilomètres pour un stade de $157, 5$ m, puis pour un stade de $185$ m. 4. En déduire, dans le premier cas, le rayon de la Terre, et comparer à $6371$ km. 5. Peut-on dire qu'Ératosthène a mesuré la Terre à $2 %$ près ?

Corrigé

1. L'hypothèse est que le Soleil est assez loin pour que ses rayons arrivent parallèles sur la Terre. Le rayon qui tombe à Syène est alors parallèle au rayon qui tombe à Alexandrie. Or le premier est dans le prolongement du rayon terrestre de Syène (le Soleil est au zénith). Le gnomon d'Alexandrie est, lui, dans le prolongement du rayon terrestre d'Alexandrie. L'angle entre le gnomon et le rayon solaire à Alexandrie, et l'angle au centre entre les deux rayons terrestres, sont donc des angles alternes-internes déterminés par deux parallèles et une sécante : ils sont égaux.

2. Par proportionnalité entre angles au centre et arcs : $\frac{5 000}{C} = \frac{7 , 2}{360} ⟹ C = \frac{360}{7 , 2} \times 5000 = 50 \times 5000 = 250000 stades.$

3. $250000 \times 157, 5 m = 39375 km$ ; $250000 \times 185 m = 46250 km$ .

4. $R = 39 375/ (2 π) \approx 6267$ km. L'écart avec $6371$ km vaut $104$ km, soit $104/6 371 \approx 1, 6 %$ .

5. Non, pas en toute rigueur. On ne peut l'affirmer qu'à condition de choisir le stade de $157, 5$ m, et ce choix n'est pas établi avec certitude. Avec le stade attique, l'écart monte à $16 %$ . La formulation honnête est : « Ératosthène a obtenu le bon ordre de grandeur, et si l'on retient le stade court, son résultat est à moins de $2 %$ de la valeur actuelle. » Toute la différence entre une affirmation scientifique et une légende tient dans cette précaution.

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