Sphère ou plateau ? le pouvoir d'une troisième mesure

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 8 — La forme de la Terre

Énoncé

Trois stations $S_{0}$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ sont alignées sur un même méridien, à $0$ , $800$ et $4000$ km au sud de $S_{0}$ . Un même jour à midi, on mesure l'angle du Soleil avec la verticale : $0^{\circ}$ en $S_{0}$ , $7, 2^{\circ}$ en $S_{1}$ , $36, 0^{\circ}$ en $S_{2}$ . 1. Modèle sphérique. Calculer le rayon de la Terre à partir du couple ( $S_{0}$ , $S_{1}$ ), puis à partir du couple ( $S_{0}$ , $S_{2}$ ). Le modèle est-il cohérent ? 2. Modèle du plateau plat sous un Soleil proche. Calculer la hauteur $H$ du Soleil à partir du couple ( $S_{0}$ , $S_{1}$ ), puis prédire l'angle qui devrait être mesuré en $S_{2}$ . 3. Conclure. 4. Pourquoi Ératosthène ne pouvait-il pas faire ce raisonnement ?

Corrigé

1. Dans le modèle sphérique, la longueur d'arc et l'angle au centre sont proportionnels : $ℓ = R α$ avec $α$ en radians. $7, 2^{\circ} = 7, 2 \times \frac{π}{180} = 0, 1257 rad \Rightarrow R = \frac{800}{0 , 1257} \approx 6366 km,$ $36, 0^{\circ} = 0, 6283 rad \Rightarrow R = \frac{4 000}{0 , 6283} \approx 6366 km.$ Les deux valeurs coïncident : le modèle sphérique rend compte des trois mesures avec un seul paramètre.

2. Dans le modèle plat, $tan α = ℓ / H$ , donc $H = \frac{800}{tan 7 , 2 ^{\circ}} = \frac{800}{0 , 1263} \approx 6332 km.$ La prédiction en $S_{2}$ est alors $α_{2} = arctan (\frac{4 000}{6 332}) = arctan (0, 6317) \approx 32, 3^{\circ} .$

3. Le modèle plat prédit $32, 3^{\circ}$ là où l'on mesure $36, 0^{\circ}$ : un écart de $3, 7^{\circ}$ , très supérieur à toute incertitude raisonnable de mesure. Le modèle plat est donc réfuté par la troisième station, tandis que le modèle sphérique reste cohérent. Remarquons la structure du raisonnement : on n'a pas prouvé que la Terre est sphérique, on a montré qu'un modèle concurrent fait une prédiction fausse. C'est ainsi que procède la science.

4. Parce qu'une troisième station très éloignée lui manquait : il aurait fallu une ville située à $4000$ km au sud d'Alexandrie, en Afrique équatoriale, où l'on sache mesurer un angle à un demi-degré près et connaître l'instant du midi local. Le monde connu d'Ératosthène ne le permettait pas. C'est un rappel utile : ce que l'on peut savoir dépend aussi de ce que l'on peut atteindre.

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