Un triangle de la chaîne — exercice corrigé d'enseignement scientifique (première) (chapitre 8)

Un triangle de la chaîne

La forme de la Terre · niveau 2

Énoncé

Sur la méridienne, un triangle a pour base $A B = 11, 0$ km, mesurée au sol. Depuis $A$ , on voit le clocher $C$ sous un angle $A = 62, 0^{\circ}$ par rapport à la base ; depuis $B$ , sous un angle $B = 71, 0^{\circ}$ . On donne la loi des sinus : $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ , où $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ . 1. Calculer $C$ . 2. Calculer $A C$ et $B C$ . 3. Quel intérêt y a-t-il à ce que le triangle ne soit ni trop aplati ni trop pointu ? 4. Expliquer en deux phrases comment on poursuit la chaîne.

Corrigé

1. $C = 180 - 62, 0 - 71, 0 = 47, 0^{\circ}$ .

2. $sin 62, 0^{\circ} = 0, 8830$ , $sin 71, 0^{\circ} = 0, 9455$ , $sin 47, 0^{\circ} = 0, 7314$ . Donc $A C = b = c \frac{sin B}{sin C} = 11, 0 \times \frac{0 , 9455}{0 , 7314} \approx 14, 2 km,$ $B C = a = c \frac{sin A}{sin C} = 11, 0 \times \frac{0 , 8830}{0 , 7314} \approx 13, 3 km.$

3. Parce que la précision du résultat dépend de la forme du triangle. Si $C$ est très petit, $sin C$ est petit et la division l'amplifie : une erreur d'une minute d'arc sur un angle se traduit alors par une erreur énorme sur les côtés. Les géodésiens recherchaient des triangles proches de l'équilatéral, où aucun sinus n'est petit. C'est un principe général de la mesure indirecte : la géométrie du dispositif décide de la précision du résultat.

4. Le côté $B C$ , désormais connu par le calcul, devient la base du triangle suivant : depuis $B$ et $C$ , on vise un nouveau point $D$ et l'on recommence. Aucune longueur n'est plus jamais mesurée au sol ; seuls des angles sont relevés, de clocher en clocher, jusqu'à l'autre extrémité de la méridienne.