Le calcul de Kelvin, refait

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 9 — L'histoire de l'âge de la Terre

Énoncé

Dans un solide, la chaleur diffuse en un temps $t$ sur une profondeur caractéristique $e = κ t$ , où $κ$ est la diffusivité thermique. Pour les roches, $κ = 1, 0 \times 1 0^{- 6}$ m $^{2} \cdot$ s $^{- 1}$ . On prendra $1$ an $= 3, 16 \times 1 0^{7}$ s et une température initiale $T_{0} = 3900^{\circ}$ C. 1. Calculer $e$ pour $t = 100$ millions d'années, et comparer au rayon terrestre. 2. Estimer le gradient de température en surface, de l'ordre de $T_{0} / e$ . 3. On mesure $30^{\circ}$ C par kilomètre. Montrer que multiplier l'âge par $4$ divise le gradient par $2$ , et en déduire l'âge qui reproduirait la valeur mesurée. 4. Kelvin annonçait $20$ à $40$ Ma. Commenter. 5. Citer les deux hypothèses qui rendent ce calcul caduc.

Corrigé

1. $t = 1 0^{8} \times 3, 16 \times 1 0^{7} = 3, 16 \times 1 0^{15}$ s. $e = 1, 0 \times 1 0^{- 6} \times 3, 16 \times 1 0^{15} = 3, 16 \times 1 0^{9} \approx 5, 6 \times 1 0^{4} m = 56 km.$ Rapporté au rayon terrestre de $6371$ km, cela fait $0, 9 %$ : seule une pellicule superficielle a eu le temps de se refroidir. Tout le reste de la Terre est encore à sa température initiale dans ce modèle.

2. $T_{0} / e = 3 900/56 \approx 70^{\circ}$ C par kilomètre.

3. Puisque $e = κ t$ , multiplier $t$ par $4$ multiplie $e$ par $4 = 2$ , donc divise le gradient $T_{0} / e$ par $2$ . Pour passer de $70$ à $30^{\circ}$ C $\cdot$ km $^{- 1}$ , il faut multiplier $e$ par $70/30 \approx 2, 33$ , donc multiplier $t$ par $2, 3 3^{2} \approx 5, 4$ : $t \approx 5, 4 \times 1 0^{8} ans, soit environ 540 Ma.$

4. Notre estimation dépasse la sienne d'un facteur $15$ : le résultat est extrêmement sensible aux valeurs choisies pour $κ$ et $T_{0}$ , que Kelvin prenait différentes des nôtres. Retenons donc non pas le nombre mais la structure : le modèle conductif donne inévitablement quelques dizaines à quelques centaines de millions d'années, jamais des milliards. L'écart avec la réalité est un écart de modèle, pas un écart de réglage.

5. (i) L'absence de source interne de chaleur : la radioactivité fournit environ la moitié du flux géothermique actuel. (ii) Le transport par conduction seule : le manteau convecte, ce qui remonte la chaleur beaucoup plus vite et maintient longtemps un gradient de surface élevé. C'est l'objection formulée par John Perry dès $1895$ .

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