Un refroidissement au laboratoire

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 9 — L'histoire de l'âge de la Terre

Énoncé

On relève la température d'un bécher d'eau chaude posé dans une salle à $20^{\circ}$ C :

$t$ (min)	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$30$	$40$
$θ$ ( $^{\circ}$ C)	$80$	$68$	$58$	$50$	$44$	$34$	$28$

1. Calculer l'écart $θ - 20$ à chaque date. 2. Montrer que cet écart est divisé par deux à intervalles réguliers, et donner cet intervalle. 3. Prévoir la température à $t = 50$ min et à $t = 60$ min. 4. Au bout de combien de temps l'écart sera-t-il inférieur à $1^{\circ}$ C ? 5. En quoi cette expérience éclaire-t-elle l'erreur de Kelvin ?

Corrigé

1. Les écarts valent successivement $60$ , $48$ , $38$ , $30$ , $24$ , $14$ et $8^{\circ}$ C.

2. L'écart part de $60$ et vaut $30$ à $t = 15$ min : il a été divisé par deux en $15$ minutes. Il vaut ensuite $14 \approx 30/2$ à $t = 30$ min, puis $8 \approx 15/2$ vers $t = 45$ min. L'écart est donc divisé par deux toutes les $15$ minutes environ : c'est une décroissance du même type que celle d'un échantillon radioactif, avec une « demi-vie » de $15$ min.

3. À $t = 45$ min l'écart vaut $60 \times 0, 5^{3} = 7, 5^{\circ}$ C, donc $θ \approx 27, 5^{\circ}$ C. À $t = 60$ min, $60 \times 0, 5^{4} = 3, 75^{\circ}$ C, soit $θ \approx 24^{\circ}$ C. On retiendra $27^{\circ}$ C environ à $50$ min.

4. On cherche $n$ tel que $60 \times 0, 5^{n} < 1$ , soit $0, 5^{n} < 0, 0167$ . On tabule : $0, 5^{5} = 0, 031$ ; $0, 5^{6} = 0, 0156 < 0, 0167$ . Donc $n = 6$ , c'est-à-dire $6 \times 15 = 90$ minutes.

5. Elle montre que la température d'un corps qui se refroidit librement suit une loi très régulière, dont on peut effectivement remonter le cours pour estimer l'instant initial. Mais elle montre aussi la fragilité de cette inversion : il suffirait de placer dans le bécher une source de chaleur, même faible, pour que la courbe s'aplatisse et que l'estimation de l'instant initial devienne fausse — dans le sens d'un temps trop court. C'est exactement ce que la radioactivité fait à l'intérieur de la Terre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.