Un modèle d'épidémie

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (terminale), chapitre 10 — Les modèles démographiques

Énoncé

Au début d'une épidémie, le nombre de cas quotidiens augmente de $25 %$ par jour. Le premier jour, on compte $40$ cas. 1. Quel modèle utiliser ? 2. Combien de cas au bout de $10$ jours ? de $30$ jours ? 3. Calculer le temps de doublement. 4. Au bout de $60$ jours, le modèle prédit-il quelque chose de plausible ? Quel modèle serait plus adapté ?

Corrigé

1. La variation relative est constante ( $+ 25 %$ par jour) : c'est un modèle exponentiel, $C_{n} = 40 \times 1, 2 5^{n}$ .

2. $C_{10} = 40 \times 1, 2 5^{10} \approx 40 \times 9, 31 \approx 372$ cas. $C_{30} = 40 \times 1, 2 5^{30} \approx 40 \times 807 \approx 32300$ cas.

3. Par tabulation : $1, 2 5^{3} = 1, 953$ et $1, 2 5^{4} = 2, 441$ . Le doublement intervient donc entre le troisième et le quatrième jour, disons environ $3, 1$ jours. La règle des $70$ donne $70/25 = 2, 8$ jours : l'approximation se dégrade, comme annoncé, pour les taux élevés.

4. $C_{60} = 40 \times 1, 2 5^{60} \approx 40 \times 6, 5 \times 1 0^{5} \approx 2, 6 \times 1 0^{7}$ , soit vingt-six millions de cas quotidiens. C'est invraisemblable : le modèle finirait par prédire plus de malades qu'il n'y a d'habitants. Il faut un modèle qui freine, comme le modèle logistique : à mesure que la population susceptible d'être contaminée diminue — parce que les gens sont immunisés, ou changent de comportement — le taux de croissance diminue et la courbe s'infléchit. La phase exponentielle est réelle, mais elle n'est qu'un début.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.