Une population qui s'éteint — exercice corrigé d'enseignement scientifique (terminale) (chapitre 10)

Une population qui s'éteint

Les modèles démographiques · niveau 2

Énoncé

Une population insulaire compte $5000$ individus. Sa natalité est de $9$ pour mille, sa mortalité de $14$ pour mille. 1. Calculer $q$ . 2. Prédire l'effectif après $20$ , $50$ et $100$ ans. 3. Au bout de combien d'années l'effectif passe-t-il sous $2500$ ? 4. Le modèle prévoit-il l'extinction complète ? Que penser de cette prédiction ?

Corrigé

1. $t = \frac{9 - 14}{1 000} = - 0, 005$ , donc $q = 0, 995$ .

2. $P_{20} = 5000 \times 0, 99 5^{20} \approx 5000 \times 0, 9046 \approx 4520$ ; $P_{50} = 5000 \times 0, 7783 \approx 3890$ ; $P_{100} = 5000 \times 0, 6058 \approx 3030$ .

3. On cherche le plus petit $n$ tel que $0, 99 5^{n} ⩽ 0, 5$ . On tabule : $0, 99 5^{100} \approx 0, 606$ ; $0, 99 5^{130} \approx 0, 521$ ; $0, 99 5^{140} \approx 0, 496$ . Le seuil est franchi au bout de $139$ ans (on peut aussi appliquer la règle des $70$ : $70/0, 5 = 140$ ).

4. Le modèle prévoit un effectif qui tend vers $0$ sans jamais l'atteindre : mathématiquement, il n'y a pas d'extinction en temps fini. C'est une prédiction irréaliste pour deux raisons. D'une part, un effectif est un nombre entier : sous quelques individus, la notion de « $0, 3$ habitant » n'a aucun sens. D'autre part, une population de très faible effectif s'éteint en pratique bien avant, par le seul effet du hasard des naissances et des décès, et par l'appauvrissement de sa diversité génétique. Le modèle continu est ici hors de son domaine de validité : il faudrait un modèle probabiliste.