Une éolienne et la limite de Betz

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (terminale), chapitre 5 — Conversion et transport de l'énergie électrique

Énoncé

Une éolienne a des pales de rayon $R = 60$ m. Le vent souffle à $v = 12$ m $\cdot$ s $^{- 1}$ ; la masse volumique de l'air vaut $ρ = 1, 2$ kg $\cdot$ m $^{- 3}$ . La puissance du vent traversant le disque balayé vaut $P_{vent} = \frac{1}{2} ρS v^{3}$ , où $S = π R^{2}$ . 1. Calculer $S$ puis $P_{vent}$ . 2. La limite de Betz interdit de prélever plus de $16/27$ de cette puissance. Quelle est la puissance maximale théorique ? 3. Le rendement réel de la machine (rotor, génératrice, électronique) vaut $0, 42$ . Quelle puissance électrique obtient-on ? Comparer à la puissance nominale annoncée de $5$ MW. 4. Si le vent tombe à $6$ m $\cdot$ s $^{- 1}$ , par combien la puissance est-elle divisée ? 5. Avec un facteur de charge de $0, 30$ , quelle énergie l'éolienne produit-elle en un an ?

Corrigé

1. $S = π \times 6 0^{2} \approx 1, 13 \times 1 0^{4}$ m $^{2}$ . Puis $P_{vent} = 0, 5 \times 1, 2 \times 1, 13 \times 1 0^{4} \times 1 2^{3} \approx 1, 17 \times 1 0^{7} W \approx 11, 7 MW .$

2. $16/27 \approx 0, 593$ , d'où $P_{m a x} \approx 0, 593 \times 11, 7 \approx 6, 9$ MW.

3. $P_{e ˊ lec} \approx 0, 42 \times 11, 7 \approx 4, 9$ MW, cohérent avec les $5$ MW annoncés : la machine atteint sa puissance nominale vers $12$ m $\cdot$ s $^{- 1}$ , ce qui est le cas des grandes éoliennes actuelles. Notons que $0, 42$ est bien inférieur à la limite de Betz : celle-ci est un plafond théorique, jamais atteint.

4. La puissance varie comme $v^{3}$ : diviser $v$ par $2$ divise $P$ par $2^{3} = 8$ . À $6$ m $\cdot$ s $^{- 1}$ , il ne reste qu'environ $0, 6$ MW. Cette dépendance cubique explique à elle seule pourquoi l'implantation d'un parc se joue sur des différences de vitesse de vent qui paraissent faibles : un site $20 %$ plus venté produit $1, 2^{3} \approx 1, 7$ fois plus.

5. $E = 5 \times 8760 \times 0, 30 \approx 1, 3 \times 1 0^{4}$ MWh $= 13$ GWh par an.

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