Une éolienne et la limite de Betz

Une éolienne a des pales de rayon $R=60$ m. Le vent souffle à $v=12$ m$\cdot$s${}^{-1}$ ; la masse volumique de l'air vaut $\rho =1,2$ kg$\cdot$m${}^{-3}$. La puissance du vent traversant le disque balayé vaut $P_{\text{vent}}=\frac{1}{2}\rho S{v}^3$, où $S=\pi R^2$. 1. Calculer $S$ puis $P_{\text{vent}}$. 2. La limite de Betz interdit de prélever plus de $16/27$ de cette puissance. Quelle est la puissance maximale théorique ? 3. Le rendement réel de la machine (rotor, génératrice, électronique) vaut $0,42$. Quelle puissance électrique obtient-on ? Comparer à la puissance nominale annoncée de $5$ MW. 4. Si le vent tombe à $6$ m$\cdot$s${}^{-1}$, par combien la puissance est-elle divisée ? 5. Avec un facteur de charge de $0,30$, quelle énergie l'éolienne produit-elle en un an ?