Établir la relation de récurrence

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (terminale), chapitre 7 — La biodiversité et son évolution

Énoncé

Une population présente les fréquences génotypiques suivantes : $f_{AA} = 0, 50$ , $f_{A a} = 0, 10$ , $f_{aa} = 0, 40$ . 1. Vérifier que la somme vaut $1$ , puis calculer $p$ et $q$ . 2. Calculer les fréquences génotypiques de la génération suivante. 3. Recalculer $p$ pour cette nouvelle génération. Que constate-t-on ? 4. Donner les fréquences aux générations $2$ , $3$ et $10$ . 5. Une autre population part de $f_{AA} = 0, 30$ , $f_{A a} = 0, 50$ , $f_{aa} = 0, 20$ . Comparer les deux populations à la génération $2$ .

Corrigé

1. $0, 50 + 0, 10 + 0, 40 = 1$ . Puis $p = f_{AA} + \frac{f _{A a}}{2} = 0, 50 + 0, 05 = 0, 55, q = 0, 40 + 0, 05 = 0, 45,$ et $p + q = 1$ .

2. $f_{AA} = p^{2} = 0, 3025$ ; $f_{A a} = 2 pq = 0, 4950$ ; $f_{aa} = q^{2} = 0, 2025$ . Somme : $1$ .

3. $p^{'} = 0, 3025 + 0, 4950/2 = 0, 3025 + 0, 2475 = 0, 55 = p$ . La fréquence allélique n'a pas changé : la suite $(p_{n})$ est constante.

4. Puisque $p$ ne change plus, les fréquences génotypiques ne changent plus non plus : aux générations $2$ , $3$ et $10$ , on retrouve $0, 3025$ , $0, 4950$ , $0, 2025$ . C'est l'équilibre de Hardy-Weinberg.

5. Pour la seconde population : $p = 0, 30 + 0, 25 = 0, 55$ , identique. À la génération $2$ , elle présente donc exactement les mêmes fréquences génotypiques que la première : $0, 3025$ , $0, 4950$ , $0, 2025$ . La composition génotypique de départ est oubliée dès la première génération ; seule la fréquence allélique compte. C'est le résultat le plus fort du modèle, et le moins intuitif.

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