Combien de bactéries résistantes avant traitement ?

1. Pour passer de $1$ à $10^9$ bactéries, il a fallu environ $10^9$ divisions. Avec une probabilité de $10^{-9}$ par division, on attend en moyenne une bactérie résistante. Le nombre exact varie d'une infection à l'autre — c'est un phénomène aléatoire — mais il n'est presque jamais nul dans les infections importantes.

2. $10^9\times 10^{-9}=1$ : il en reste de l'ordre d'une, celle qui portait la mutation. Le chiffre est frappant : le traitement a été efficace à plus de neuf chiffres après la virgule, et il a pourtant échoué.

3. Il faut multiplier l'effectif par $10^9$, soit $2^n=10^9$, d'où $n=\frac{\ln 10^9}{\ln 2}\approx 30$ divisions. À raison d'une toutes les $30$ minutes, cela fait $15$ heures. En moins d'une journée, l'infection est reconstituée — et entièrement résistante.

4. L'antibiotique n'a pas modifié le patrimoine génétique des bactéries : il a tué les sensibles et laissé vivre les résistantes, qui existaient déjà. Sa seule action est un tri. La formulation du patient est lamarckienne : elle suppose que le milieu induit le caractère utile. Toute la différence est là, et elle a des conséquences pratiques : si l'antibiotique créait la résistance, il faudrait éviter les fortes doses ; comme il ne fait que trier, c'est au contraire le sous-dosage qui est dangereux, parce qu'il laisse survivre des intermédiaires.

5. Par une expérience de fluctuation, imaginée en $1943$ par Salvador Luria et Max Delbrück. On cultive de nombreuses populations bactériennes séparées à partir de très peu de cellules, puis on les expose toutes au même agent sélectif et l'on compte les survivants. Si la résistance était induite par l'agent, toutes les populations donneraient à peu près le même nombre de survivants. Si les mutations surviennent au hasard avant l'exposition, le nombre varie énormément d'une population à l'autre, selon que la mutation est apparue tôt ou tard dans la croissance. C'est cette seconde prédiction qui est vérifiée. L'expérience est un modèle de raisonnement : elle distingue deux hypothèses par la variabilité du résultat, non par sa valeur moyenne.