Temps de doublement et règle des 70

Exercice · niveau 2 · ESH : économie, sociologie, histoire (ECG 1re année), chapitre 14 — Transformations démographiques et évolution des modes de vie

Énoncé

Une population croît de $2, 5 %$ par an. Calculer son temps de doublement exact, puis le comparer à l'approximation donnée par la « règle des 70 ». Justifier cette règle.

Corrigé

Le temps de doublement exact. On cherche $T$ tel que $(1, 025)^{T} = 2$ , d'où

$T = \frac{ln 2}{ln ( 1 , 025 )} \approx \frac{0 , 6931}{0 , 02469} \approx 28, 1 ans .$

L'approximation continue. $\frac{ln 2}{0 , 025} \approx 27, 7$ ans.

La règle des 70. $\frac{70}{2 , 5} = 28$ ans.

Sa justification. $ln 2 \approx 0, 693$ et $0, 693 \times 100 \approx 70$ : la règle est la formule continue écrite en pourcentage.

Sa limite. Elle n'est bonne qu'aux taux faibles, où $ln (1 + r) \approx r$ : à $20 %$ par an elle donne $3, 5$ ans contre $3, 8$ en réalité, soit $8 %$ d'erreur.

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