L'implication n'est pas associative, l'équivalence l'est

1. Non, et deux lignes sur huit le montrent.

Les lignes où $p$ est fausse et $r$ est fausse séparent les deux. À droite, $p$ fausse rend l'implication vraie sans qu'on ait à regarder plus loin. À gauche, $p\to q$ vaut alors $V$, et il reste à conclure $r$, qui est fausse.

Conséquence d'écriture : $a\to b\to c$ ne veut rien dire tant qu'on n'a pas fixé une convention. Celle qui est universellement retenue est l'associativité à droite, $a\to (b\to c)$ — celle qui donne le curryfiage d'OCaml, où le type int -> int -> int se lit int -> (int -> int) (chapitre chap:langage-ocaml). Ce n'est pas une coïncidence : c'est la même règle, et le chapitre chap:deduction montrera pourquoi.

2. Oui, celle-là est associative : les deux formules ont les mêmes quatre modèles,

$$(V,V,V),(V,F,F),(F,V,F),(F,F,V).$$

Ce sont exactement les valuations où le nombre de variables fausses est pair. La formule $(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow r$ n'est donc rien d'autre que la parité des trois variables, et la parité ne dépend pas de l'ordre où on l'accumule : d'où l'associativité. On y reviendra à l'exercice 20.10.

Le piège à nommer : deux connecteurs de même arité peuvent se comporter très différemment vis-à-vis du parenthésage. On ne suppose jamais l'associativité, on la vérifie sur la table.