Tautologie, antilogie, ou ni l'un ni l'autre

• $\alpha$ est une tautologie, et c'est déconcertant : elle dit que de deux propositions quelconques, l'une implique toujours l'autre. La table le confirme, et l'explication tient en une phrase : si $q$ est vraie, $p\to q$ est vraie ; si $q$ est fausse, alors $q\to p$ est vraie. Aucun cas n'échappe. C'est le prix de l'implication matérielle — elle ne prétend à aucun lien de sens entre prémisse et conclusion.
• $\beta$ n'est ni l'un ni l'autre : elle admet trois modèles sur quatre, et le contre-modèle est $p=F$, $q=V$. On y vérifie $p\to q=V$ et $q\to p=F$. C'est la réciproque, et la réciproque n'est jamais gratuite — au contraire de la contraposée, qui, elle, est bien équivalente.
• $\gamma$ est une tautologie : c'est la loi de Peirce. Si $p$ est vraie, la conclusion l'est. Si $p$ est fausse, alors $p\to q$ est vraie, donc $(p\to q)\to p$ est fausse, donc l'implication entière est vraie. Elle mérite d'être connue : c'est une tautologie qui ne fait intervenir que l'implication, sans négation apparente, et qui n'est pourtant pas démontrable sans raisonnement par l'absurde (chapitre chap:deduction).
• $\delta$ est une antilogie. Ses quatre clauses interdisent successivement chacune des quatre valuations de $\{p,q\}$ : la clause $(p\vee q)$ élimine $(F,F)$, la clause $(\neg p\vee \neg q)$ élimine $(V,V)$, et les deux autres les deux valuations restantes. Il ne reste rien.

La méthode générale, quand on ne voit pas : une formule à $n$ variables se décide en $2^n$ lignes, toujours. C'est fini, donc décidable — et c'est exactement pour cela que le chapitre chap:deduction existe : $2^n$ est fini, mais $2^{100}$ ne se calcule pas.