Le raisonnement par cas

Premier séquent. Posons $\Gamma =\{p\vee q\}$.

$$\frac{\frac{}{\Gamma ⊢p\vee q}\text{ax}\frac{\frac{}{\Gamma ,p⊢p}\text{ax}}{\Gamma ,p⊢q\vee p}{\vee }_i^d\frac{\frac{}{\Gamma ,q⊢q}\text{ax}}{\Gamma ,q⊢q\vee p}{\vee }_i^g}{\Gamma ⊢q\vee p}{\vee }_e$$

Second séquent, le syllogisme disjonctif. Posons $\Delta =\{p\vee q,\neg p\}$.

$$\frac{\frac{}{\Delta ⊢p\vee q}\text{ax}\frac{\frac{\frac{}{\Delta ,p⊢\neg p}\text{ax}\frac{}{\Delta ,p⊢p}\text{ax}}{\Delta ,p⊢\perp }{\neg }_e}{\Delta ,p⊢q}{\perp }_e\frac{}{\Delta ,q⊢q}\text{ax}}{\Delta ⊢q}{\vee }_e$$

Trois choses à voir dans ces deux arbres.

Un. ${\vee }_e$ est la seule règle à trois prémisses du chapitre, et la seule qui enrichisse le contexte de deux manières différentes. C'est le raisonnement par cas des mathématiques, écrit : « ou bien $p$, ou bien $q$ ; dans les deux cas, $C$ ; donc $C$ ».

Deux. Dans le second arbre, la branche « cas $p$ » est contradictoire : le contexte contient à la fois $p$ et $\neg p$. On en tire $\perp$ par ${\neg }_e$, puis $q$ par ${\perp }_e$ — et $q$ n'a évidemment rien à voir avec ce qui précède. C'est là que ${\perp }_e$ gagne son existence : sans elle, on n'aurait pas de quoi conclure dans une branche impossible, et le raisonnement par cas resterait bloqué.

Trois. On croit souvent le syllogisme disjonctif « évident ». Il demande sept nœuds et quatre règles distinctes. Ce qui est évident, c'est le résultat ; ce que la déduction naturelle exhibe, c'est le chemin — et le chemin passe par une contradiction et par l'ex falso, deux détours que l'intuition saute.