Minimal n'est pas minimum, et l'on peut les compter

1. Les minimaux sont exactement les nombres premiers de $E$, et il y en a dix, énumérés par le calcul :

$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.$$

Preuve. $m\in E$ est minimal s'il n'a aucun diviseur strict dans $E$. Ses diviseurs autres que lui-même sont $1$ — hors de $E$ — et ses diviseurs propres $>1$. Il est donc minimal si et seulement si il n'a pas de diviseur propre $>1$, c'est-à-dire s'il est premier.

2. Aucun minimum. Un minimum devrait diviser tous les éléments de $E$, donc diviser à la fois $2$ et $3$ : ce serait $1$, qui n'est pas dans $E$. On a donc dix éléments minimaux et aucun minimum — l'illustration exacte de la mise en garde du cours, et cette fois avec un compte.

3. Les maximaux sont les éléments de $E$ dont aucun multiple propre n'est dans $E$. Le plus petit multiple propre de $m$ est $2m$ : $m$ est donc maximal si et seulement si $2m>30$, c'est-à-dire $m\ge 16$. Il y en a quinze — calcul vérifié : $16,17,\dots ,30$. Noter que $11$, $13$ et $15$ ne le sont pas, malgré leur taille : $22$, $26$ et $30$ sont dans $E$.

Il n'y a pas de maximum : il devrait être multiple de $16$ et de $17$, donc valoir au moins $272$.

Le dessin qui aide. L'ordre de divisibilité sur $E$ se lit comme le graphe orienté acyclique du cours : un arc de $b$ vers $a$ quand $a$ divise $b$ immédiatement. Les minimaux sont les sommets sans arc sortant — les dix premiers —, les maximaux ceux sans arc entrant. Un minimum serait un sommet atteint depuis tous les autres : il n'y en a pas, et le graphe le montre d'un coup d'œil.