Ordre, ou pas ?

On teste les trois axiomes, dans l'ordre, sur chacune.

1. $\le$ sur $\mathbb{N}$ : ordre total. Réflexive ($a\le a$), antisymétrique ($a\le b$ et $b\le a$ donnent $a=b$), transitive. Et deux entiers sont toujours comparables.

2. $<$ sur $\mathbb{N}$ : ce n'est pas un ordre au sens de la définition. Elle n'est pas réflexive : $3<3$ est faux. On l'appelle un ordre strict, et c'est une notion distincte : on passe de l'une à l'autre par $x\prec y⟺(x⪯y\text{ et }x\ne y)$, mais la définition du chapitre porte sur $⪯$.

3. La divisibilité sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : ordre partiel. Réflexive ($a\mid a$). Antisymétrique : si $a\mid b$ et $b\mid a$ avec $a,b>0$, alors $a\le b$ et $b\le a$, donc $a=b$. Transitive : $b=ka$ et $c=\ell b$ donnent $c=k\ell a$. Mais partielle : $2$ et $3$ ne se divisent pas l'un l'autre.

Attention à la restriction ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Sur $\mathbb{Z}$, l'antisymétrie tombe : $2\mid -2$ et $-2\mid 2$, sans que $2=-2$. Et sur $\mathbb{N}$ tout entier, $0$ est le plus grand élément, puisque tout entier divise $0$ — un fait qui surprend et qui est exact.

4. Même parité : ce n'est pas un ordre. Réflexive et transitive, mais pas antisymétrique : $2$ et $4$ ont la même parité dans les deux sens sans être égaux. C'est une relation d'équivalence, la structure duale de celle-ci : là où un ordre hiérarchise, une équivalence regroupe. On la retrouvera au chapitre chap:unir, avec la structure qui gère ces regroupements.

Ce que l'exercice met en place. L'axiome qui tombe n'est jamais le même, et il désigne à chaque fois une autre structure : sans réflexivité un ordre strict, sans antisymétrie une équivalence, sans totalité un ordre partiel. C'est le troisième cas qui portera tout le chapitre — car un ordre partiel peut parfaitement être bien fondé, et c'est le seul dont on aura besoin.